Seja V um espaço vetorial sobre R. Prove que as seguintes propriedades valem:
u+v=u+w Longrightarrow v=w forall u, v, w in V.

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei de cancelamento na adição de vetores: em qualquer espaço vetorial V sobre R, se
u + v ;=; u + w,
então necessariamente v=w.
Para isso, vamos usar os axiomas de espaço vetorial: existência de elemento neutro (vetor zero), existência de inverso aditivo e associatividade da soma.

Passo 2

Lembramos dos seguintes fatos válidos em qualquer espaço vetorial V:
  1. Existe elemento neutro 0 tal que 0 + x = x para todo xin V.
  2. Para cada xin V existe inverso aditivo -x tal que
x + (-x) = 0
  1. A soma de vetores é associativa:
(a + b) + c = a + (b + c)

Passo 3

Começamos com a hipótese
u + v ;=; u + w
Vamos somar à esquerda e à direita o vetor -u, ou seja, aplicar o inverso aditivo de u:
(-u) + l(u + vr) ;=; (-u) + l(u + wr)

Passo 4

Pela associatividade podemos reescrever ambos os lados como
l((-u) + ur) + v ;=; l((-u) + ur) + w

Passo 5

Mas (-u) + u = 0 por definição de inverso aditivo, e 0 + x = x por ser 0 o neutro. Logo
0 + v = 0 + w Longrightarrow v = w

Resposta

v = w

Exercícios relacionados