Prove que os quatro pontos (x1, y1, z1),(x2, y2, z2),(x3, y3, z3) e (x4, y4, z4) são coplanares (estão sobre um mesmo plano) se e somente se
|llll x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 x4 & y4 & z4 & 1 |=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que quatro pontos
,(x1,y1,z1),,(x2,y2,z2),,(x3,y3,z3),,(x4,y4,z4)\n
estão no mesmo plano em R^3 se, e somente se, o determinante
x1 & y1 & z1 & 1 [6pt] x2 & y2 & z2 & 1 [6pt] x3 & y3 & z3 & 1 [6pt] x4 & y4 & z4 & 1
é zero.
Conteúdo: geometria analítica em R^3 e determinantes. Vamos usar vetores de posição, produto misto e operações elementares em colunas de matrizes para relacionar coplanaridade com determinante.]

Passo 2

Quatro pontos são coplanares se, e somente se, os vetores
vec v = (x2-x1,,y2-y1,,z2-z1), vec w = (x3-x1,,y3-y1,,z3-z1), vec u = (x4-x1,,y4-y1,,z4-z1)
são linearmente dependentes, ou seja, o produto misto
vec vcdot(vec wtimesvec u) é zero.

Passo 3

O produto misto
vec vcdot(vec wtimesvec u) pode ser escrito como determinante 3times 3:
vec vcdot(vec wtimesvec u) = x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 x4-x1 & y4-y1 & z4-z1
Logo, coplanaridade Leftrightarrow esse determinante 3times 3=0.

Passo 4

Agora mostramos que esse determinante 3times 3 é igual ao determinante 4times 4 do enunciado. Considere a matriz
M = x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 x4 & y4 & z4 & 1
Subtraindo a primeira linha de cada uma das linhas 2, 3 e 4 (operações elementares em linhas não mudam o valor do determinante), obtemos uma matriz da forma
x1 & y1 & z1 & 1 [3pt] x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 & 0 [3pt] x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 & 0 [3pt] x4-x1 & y4-y1 & z4-z1 & 0
Expandindo esse determinante pela última coluna, só resta o subdeterminante 3times 3 dos vetores vec v,vec w,vec u. Portanto
det M = x2-x1 & y2-y1 & z2-z1 x3-x1 & y3-y1 & z3-z1 x4-x1 & y4-y1 & z4-z1 =vec vcdot(vec wtimesvec u) ]

Passo 5

Concluímos que
x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 x4 & y4 & z4 & 1 =0 Long<=ftrightarrow vec vcdot(vec wtimesvec u)=0 Long<=ftrightarrow os quatro pontos são coplanares ã

Resposta

Foi demonstrado que os quatro pontos são coplanares se, e somente se, o determinante
x1 & y1 & z1 & 1 x2 & y2 & z2 & 1 x3 & y3 & z3 & 1 x4 & y4 & z4 & 1
é igual a zero.

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