Prove que os quatro pontos e são coplanares (estão sobre um mesmo plano) se e somente se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que quatro pontos ,(x1,y1,z1),,(x2,y2,z2),,(x3,y3,z3),,(x4,y4,z4)\n
estão no mesmo plano em R^3 se, e somente se, o determinante
é zero.
Conteúdo: geometria analítica em R^3 e determinantes. Vamos usar vetores de posição, produto misto e operações elementares em colunas de matrizes para relacionar coplanaridade com determinante.]
Passo 2
Quatro pontos são coplanares se, e somente se, os vetores
vec v = (x2-x1,,y2-y1,,z2-z1), vec w = (x3-x1,,y3-y1,,z3-z1), vec u = (x4-x1,,y4-y1,,z4-z1)
são linearmente dependentes, ou seja, o produto misto vec vcdot(vec wtimesvec u) é zero.
Passo 3
O produto misto vec vcdot(vec wtimesvec u) pode ser escrito como determinante 3times 3:
Subtraindo a primeira linha de cada uma das linhas 2, 3 e 4 (operações elementares em linhas não mudam o valor do determinante), obtemos uma matriz da forma