Considere os números z_{1} = 2 + 3 i e z_{2} = 4 + 5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ):
\left(5 z_{1} + 3 z_{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá os complexos \,z_{1}=2+3i e \,z_{2}=4+5i e pede \,(5z_{1}+3z_{2})^{2}. Vamos usar aritmética de complexos: multiplicação de um real por complexo, soma de complexos e a fórmula do quadrado de um complexo.

Passo 2

Primeiro, calculamos 5z_{1} e 3z_{2}. Multiplicação de escalar por complexo distribui sobre partes real e imaginária.
5z_{1}=5\cdot(2+3i)=10+15i
3z_{2}=3\cdot(4+5i)=12+15i

Passo 3

Agora somamos esses resultados. Soma de complexos soma parte real com real e imaginária com imaginária:
5z_{1}+3z_{2}=(10+15i)+(12+15i)=(10+12)+(15i+15i)=22+30i

Passo 4

Falta elevar ao quadrado o complexo 22+30i. Para a+bi vale
(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi.
Aqui a=22 e b=30, logo
(22+30i)^{2}=22^{2}-30^{2}+2\cdot22\cdot30\,i=484-900+1320\,i=-416+1320i.

Resposta

-416+1320i

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