Mostre que z=x+i y é um imaginário puro se e somente se z = \overline{z}.

Passo 1

O enunciado original diz “Mostre que \,z=x+i\,y é um imaginário puro se e somente se \,z=\overline z”. Na verdade essa afirmação é falsa: de fato \,z=\overline z caracteriza números reais, não imaginários puros. O enunciado correto deveria ser:
“Mostre que \,z=x+i\,y é real se e somente se \,z=\overline z.”
O conteúdo aqui é a definição de conjugado de um número complexo e como comparar partes real e imaginária.

Passo 2

Suponha que \,z=\overline z. Escrevendo
z = x + i\,y, \quad \overline z = x - i\,y,
a igualdade x+i\,y = x - i\,y implica
i\,y = -\,i\,y \quad\Longrightarrow\quad 2\,i\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Como a parte imaginária é zero, z = x + i\cdot 0 = x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora suponha que z seja real. Então y=0 e
z = x + i\cdot 0 = x,
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\overline z = x - i\cdot 0 = x = z.
Portanto, z=\overline z.

Resposta

Mostramos que \,z\in\mathbb{R} se e somente se \,z=\overline z.

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