Considere os números z_{1} = 2 + 3 i e z_{2} = 4 + 5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ):
\operatorname{Re}\left(1 / z_{1}{ }^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá z_{1}=2+3i e pede a parte real de
\frac{1}{z_{1}^{2}}.
Para isso, precisamos primeiro calcular z_{1}^{2}, depois inverter esse número complexo e, finalmente, identificar a parte real do resultado.

Passo 2

Calcular z_{1}^{2}. Como z_{1}=2+3i, temos
z_{1}^{2}=(2+3i)^{2}=2^{2}+2\cdot2\cdot3i+(3i)^{2}=4+12i-9=-5+12i.

Passo 3

Escrever o inverso de z_{1}^{2}:
\frac{1}{z_{1}^{2}}=\frac{1}{-5+12i}.
Para dividir por um número complexo, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Passo 4

Multiplicar por \overline{-5+12i}=-5-12i:
\frac{1}{-5+12i} =\frac{-5-12i}{(-5+12i)(-5-12i)} =\frac{-5-12i}{(-5)^{2}+(12)^{2}} =\frac{-5-12i}{25+144} =\frac{-5-12i}{169}.

Passo 5

Do resultado
\frac{1}{z_{1}^{2}}=-\frac{5}{169}-\frac{12}{169}\,i
vemos que a parte real é
\Re\bigl(1/z_{1}^{2}\bigr)=-\frac{5}{169}.

Resposta

-\frac{5}{169}

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