Considere os números z_{1} = 2 + 3 i e z_{2} = 4 + 5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ):
z_{2} / z_{1}

Passo 1

O enunciado nos dá os números complexos z_{1}=2+3i e z_{2}=4+5i e pede para calcular a divisão z_{2}/z_{1} na forma x+iy. Para isso vamos usar o método de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, garantindo um divisor real.

Passo 2

Escrevemos a fração e identificamos o conjugado de z_{1}.
O conjugado de 2+3i é 2-3i. Assim,
\frac{z_{2}}{z_{1}} =\frac{4+5i}{2+3i} \cdot\frac{2-3i}{2-3i}.

Passo 3

Calculamos o produto no numerador:
(4+5i)(2-3i) =4\cdot2 + 4\cdot(-3i) + 5i\cdot2 + 5i\cdot(-3i).
Como (-3i)\cdot5i = -15i^{2} = +15, temos
4\cdot2 = 8,\quad 4\cdot(-3i) = -12i,\quad 5i\cdot2 = 10i,\quad 5i\cdot(-3i)=15.
Somando,
8 + 15 = 23,\quad -12i + 10i = -2i,
logo o numerador é 23 - 2i.

Passo 4

Calculamos o produto no denominador, que é a norma ao quadrado de z_{1}:
(2+3i)(2-3i) = 2^{2} - (3i)^{2} = 4 - (-9) = 13.

Passo 5

Agora dividimos cada parte real e imaginária por 13:
\frac{z_{2}}{z_{1}} =\frac{23 - 2i}{13} =\frac{23}{13} - \frac{2}{13}i.

Resposta

\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{23}{13} - \frac{2}{13}i.

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