Considere os números z1=2+3 i e z2=4-5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ): barz1 barz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois números complexos, e . O que a gente precisa fazer é encontrar o produto dos conjugados desses números, ou seja, , e expressar o resultado na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo , o seu conjugado é . Isso significa que a gente simplesmente muda o sinal da parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os conjugados de z1 = 2 - 3i e z2 = 4 + 5i :

Passo 4

Com os conjugados em mãos, vamos multiplicá-los. Lembre-se que quando multiplicamos dois números complexos, usamos a distributiva (também chamada de método FOIL):
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2
E como , simplificamos a expressão.

Passo 5

Aplicando isso aos conjugados que encontramos:
z1 cdot z2 = (2 - 3i)(4 + 5i)
Vamos multiplicar cada termo:
= 2 cdot 4 + 2 cdot 5i - 3i cdot 4 - 3i cdot 5i
= 8 + 10i - 12i - 15i^2

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão lembrando que 8 + 10i - 12i - 15(-1) :
= 8 - 2i + 15

Passo 7

Por fim, somamos os termos reais e os termos imaginários:
8 + 15 = 23
-2i
Então, o resultado é:

Resposta

z1 cdot z2 = 23 - 2i

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