Determine a equação reduzida da hipérbole onde: Os focos são F1=(1,2), F2=(5,2) e o eixo transverso tem comprimento 2 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole. Para isso, nos foram dados os focos da hipérbole F1 = (1, 2) e F2 = (5, 2), além de saber que o eixo transverso tem comprimento 2. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como o centro, os eixos, e as distâncias características da hipérbole.

Passo 2

Vamos começar determinando o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre F1 = (1, 2) e F2 = (5, 2), usamos a fórmula do ponto médio:
( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo os valores:
( 1 + 52, 2 + 22 ) = (3, 2)
Então, o centro da hipérbole é (3, 2).

Passo 3

Sabemos que o eixo transverso tem comprimento 2. O eixo transverso de uma hipérbole é o segmento que liga os vértices e tem comprimento 2a, onde a é a distância do centro a cada vértice. Portanto:
2a = 2 implies a = 1
Então, a = 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a distância entre os focos, que é 2c. Os focos são dados por F1 = (1, 2) e F2 = (5, 2). A distância entre eles é:
2c = raiz(5 - 1)^2 + (2 - 2)^2 = raiz16 + 0 = 4
Portanto, c = 2.

Passo 5

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 + b^2
Já temos a = 1 e c = 2. Substituindo na equação:
2^2 = 1^2 + b^2 implies 4 = 1 + b^2 implies b^2 = 3
Então, b = raiz3.

Passo 6

Com o centro (h, k) = (3, 2), e sabendo que os focos estão alinhados horizontalmente (mesmo valor de y), a equação da hipérbole com eixo transverso horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores encontrados:
(x - 3)^21^2 - (y - 2)^23 = 1
Simplificando:
(x - 3)^21 - (y - 2)^23 = 1

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
(x - 3)^21 - (y - 2)^23 = 1

Exercícios relacionados