Determine a equação reduzida da hipérbole onde: Os focos são
e o eixo transverso tem comprimento 2 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma hipérbole. Para isso, nos foram dados os focos da hipérbole
e
, além de saber que o eixo transverso tem comprimento 2. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como o centro, os eixos, e as distâncias características da hipérbole.
Passo 2
Vamos começar determinando o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre
e
, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Sabemos que o eixo transverso tem comprimento 2. O eixo transverso de uma hipérbole é o segmento que liga os vértices e tem comprimento
, onde
é a distância do centro a cada vértice. Portanto:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a distância entre os focos, que é
. Os focos são dados por
e
. A distância entre eles é:
Portanto,
.
Passo 5
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre
,
e
é dada por:
Já temos
e
. Substituindo na equação:
Então,
.
Passo 6
Com o centro
, e sabendo que os focos estão alinhados horizontalmente (mesmo valor de
), a equação da hipérbole com eixo transverso horizontal é:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: