Uma mapa é localizada sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada no ponto P(1,3). Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação x+2 y=20.
(A) Em qual ponto da trajetória, o avião se encontra mais próximo da cidade?
(B) Nas condições do item anterior, qual a distância da cidade ao avião?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma cidade que está no ponto P(1,3) num sistema de coordenadas. A gente também tem a trajetória de um avião, que segue uma linha reta com a equação x + 2y = 20. Precisamos descobrir duas coisas:
(A) Qual é o ponto nessa trajetória onde o avião está mais perto da cidade?
(B) Qual é a distância entre a cidade e o avião nesse ponto mais próximo?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação de reta e distância entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na trajetória do avião que está mais próximo da cidade. Esse ponto será a projeção perpendicular do ponto P(1,3) na reta x + 2y = 20.

Passo 3

Para isso, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular à trajetória do avião que passa pelo ponto P(1,3).
A equação original da trajetória é x + 2y = 20. Podemos reescrever isso na forma de inclinação ( y = mx + b) para identificar a inclinação da reta original:
x + 2y = 20 2y = -x + 20 y = -12x + 10
A inclinação ( m) dessa reta é -12. A reta perpendicular terá uma inclinação que é o negativo do inverso disso, ou seja, 2.
Então, a equação da reta perpendicular que passa por P(1,3) é:
y - 3 = 2(x - 1) y = 2x + 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a trajetória do avião ( x + 2y = 20) e a reta perpendicular ( y = 2x + 1). Esse ponto de interseção será o ponto mais próximo da cidade na trajetória do avião.
Substituindo y na equação da trajetória:
x + 2(2x + 1) = 20 x + 4x + 2 = 20 5x = 18 x = 185
Agora, substituímos x = 185 na equação y = 2x + 1:
y = 2(185) + 1 = 365 + 55 = 415
Portanto, o ponto mais próximo é (185, 415).

Passo 5

Agora que temos o ponto mais próximo, vamos calcular a distância entre a cidade P(1,3) e esse ponto.
Utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2):
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(185 - 1)^2 + (415 - 3)^2 d = raiz(135)^2 + (265)^2 d = raiz16925 + 67625 d = raiz84525 d = raiz33.8 d approx 5.82

Resposta

(A) O ponto na trajetória onde o avião está mais próximo da cidade é (185, 415).
(B) A distância entre a cidade e o avião nesse ponto é aproximadamente 5.82 unidades.

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