Uma mapa é localizada sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada no ponto
. Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação
.
(A) Em qual ponto da trajetória, o avião se encontra mais próximo da cidade?
(B) Nas condições do item anterior, qual a distância da cidade ao avião?
(A) Em qual ponto da trajetória, o avião se encontra mais próximo da cidade?
(B) Nas condições do item anterior, qual a distância da cidade ao avião?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma cidade que está no ponto
num sistema de coordenadas. A gente também tem a trajetória de um avião, que segue uma linha reta com a equação
. Precisamos descobrir duas coisas:
(A) Qual é o ponto nessa trajetória onde o avião está mais perto da cidade?
(B) Qual é a distância entre a cidade e o avião nesse ponto mais próximo?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação de reta e distância entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na trajetória do avião que está mais próximo da cidade. Esse ponto será a projeção perpendicular do ponto
na reta
.
Passo 3
Para isso, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular à trajetória do avião que passa pelo ponto
.
A equação original da trajetória é
. Podemos reescrever isso na forma de inclinação (
) para identificar a inclinação da reta original:
A inclinação (
) dessa reta é
. A reta perpendicular terá uma inclinação que é o negativo do inverso disso, ou seja,
.
Então, a equação da reta perpendicular que passa por
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a trajetória do avião (
) e a reta perpendicular (
). Esse ponto de interseção será o ponto mais próximo da cidade na trajetória do avião.
Substituindo
na equação da trajetória:
Agora, substituímos
na equação
:
Portanto, o ponto mais próximo é
.
Passo 5
Agora que temos o ponto mais próximo, vamos calcular a distância entre a cidade
e esse ponto.
Utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Substituindo os valores:
Resposta
(A) O ponto na trajetória onde o avião está mais próximo da cidade é
.
(B) A distância entre a cidade e o avião nesse ponto é aproximadamente
unidades.