Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
b) x+y^2+z^2=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a “quadric” da equação e fazer um esboço do gráfico dela. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente estudando superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender os diferentes tipos de quadricas e como identificar cada uma a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação. Temos:
x + y^2 + z^2 = 2
Vamos isolar o x:
x = 2 - y^2 - z^2
Isso nos ajuda a ver a relação entre x, y e z de forma mais clara.

Passo 3

Agora, observamos que forma uma expressão quadrática, que lembra a equação de um círculo no plano y-z. A equação mostra que, para cada valor de x, temos um círculo com raio .

Passo 4

Sabemos que uma paraboloide elíptica tem uma forma semelhante, onde a variável que não está ao quadrado (no caso, x) é linear, e as outras variáveis estão ao quadrado. A equação geral de uma paraboloide elíptica é:
x = a - by^2 - cz^2
Comparando com nossa equação, vemos que corresponde exatamente, com , e .

Passo 5

Portanto, a quadric dada é uma paraboloide elíptica que se abre na direção do eixo x negativo. Isso significa que à medida que x diminui, os círculos aumentam de raio, formando uma superfície parabólica no espaço.

Resposta

A equação representa uma paraboloide elíptica que se abre na direção negativa do eixo x. O esboço do gráfico mostraria uma superfície curva parabolicamente aberta, simétrica em relação ao eixo x, expandindo-se à medida que x diminui.

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