Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a “quadric” da equação
e fazer um esboço do gráfico dela. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente estudando superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender os diferentes tipos de quadricas e como identificar cada uma a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação. Temos:
Vamos isolar o x:
Isso nos ajuda a ver a relação entre x, y e z de forma mais clara.
Passo 3
Agora, observamos que
forma uma expressão quadrática, que lembra a equação de um círculo no plano y-z. A equação
mostra que, para cada valor de x, temos um círculo com raio
.
Passo 4
Sabemos que uma paraboloide elíptica tem uma forma semelhante, onde a variável que não está ao quadrado (no caso, x) é linear, e as outras variáveis estão ao quadrado. A equação geral de uma paraboloide elíptica é:
Comparando com nossa equação, vemos que corresponde exatamente, com
,
e
.
Passo 5
Portanto, a quadric dada é uma paraboloide elíptica que se abre na direção do eixo x negativo. Isso significa que à medida que x diminui, os círculos
aumentam de raio, formando uma superfície parabólica no espaço.
Resposta
A equação
representa uma paraboloide elíptica que se abre na direção negativa do eixo x. O esboço do gráfico mostraria uma superfície curva parabolicamente aberta, simétrica em relação ao eixo x, expandindo-se à medida que x diminui.