Considere os números z1=2+3 i e z2=4-5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ): Re(1 / z1 ^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de números complexos! A gente tem dois números complexos, z1=2+3i e z2=4-5i, mas o foco aqui é o z1. A gente precisa encontrar a parte real de 1z1^2, ou seja, Re(1z1^2). Para isso, vamos precisar usar o conceito de números complexos, especialmente como elevar um número complexo ao quadrado e calcular o inverso de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular z1^2. Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula:
(a + b i)^2 = a^2 + 2 a b i + (b i)^2
Aplicando isso ao z1 = 2 + 3i:
z1^2 = (2)^2 + 2 cdot 2 cdot 3 i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2
Sabemos que i^2 = -1, então:
z1^2 = 4 + 12i + 9(-1) = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i

Passo 3

Agora, vamos encontrar o inverso de z1^2, ou seja, 1z1^2. Para calcular o inverso de um número complexo, usamos a fórmula:
1a + b i = a - b ia^2 + b^2
No nosso caso, z1^2 = -5 + 12i, então:
1z1^2 = -5 - 12i(-5)^2 + (12)^2 = -5 - 12i25 + 144 = -5 - 12i169
Podemos separar em parte real e imaginária:
1z1^2 = -5169 + -12i169 = -5169 - 12169i

Passo 4

Finalmente, queremos a parte real de 1z1^2. Observando a expressão que encontramos:
1z1^2 = -5169 - 12169i
A parte real é o termo sem o i, que é -5169.

Resposta

A parte real de 1z1^2 é -dfrac5169.

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