Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
h) y^2-x^2=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a quádica representada pela equação e fazer um esboço do seu gráfico. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas, que são curvas como parábolas, elipses e hipérboles. Para isso, vamos precisar entender a forma geral das equações das cônicas e como identificar cada tipo a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral da hipérbole alinhada aos eixos é dada por:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação y^23 - x^23 = 1 , percebemos que podemos reescrevê-la na forma padrão dividindo todos os termos por 3:
Agora, está claro que temos uma hipérbole, onde e .

Passo 3

Na hipérbole padrão , o termo positivo indica que a hipérbole está aberta verticalmente, ou seja, para cima e para baixo. O centro da hipérbole está na origem porque não há termos que deslocam a curva nas direções x ou y.

Passo 4

Vamos identificar os vértices da hipérbole. Eles estão localizados a uma distância (0, raiz3) e (0, -raiz3) do centro ao longo do eixo y, já que a hipérbole é vertical. Como , os vértices estão em:

Passo 5

Para esboçar o gráfico, precisamos também desenhar as assíntotas, que são retas que a hipérbole se aproxima quando se afasta do centro. As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
y = pm ab x
Como y = pm x , temos:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
  • Centro na origem
  • Vértices em e
  • Assíntotas nas retas e
O esboço da hipérbole terá duas ramos abertos para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas conforme se afastam do centro.

Resposta

A quádica é uma hipérbole centrada na origem, com vértices em e , e assíntotas nas retas e . O esboço do gráfico apresenta dois ramos abertos verticalmente, aproximando-se das assíntotas.

Exercícios relacionados