Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a quádica representada pela equação
e fazer um esboço do seu gráfico. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas, que são curvas como parábolas, elipses e hipérboles. Para isso, vamos precisar entender a forma geral das equações das cônicas e como identificar cada tipo a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral da hipérbole alinhada aos eixos é dada por:
Comparando com a nossa equação
, percebemos que podemos reescrevê-la na forma padrão dividindo todos os termos por 3:
Agora, está claro que temos uma hipérbole, onde
e
.
Passo 3
Na hipérbole padrão
, o termo positivo indica que a hipérbole está aberta verticalmente, ou seja, para cima e para baixo. O centro da hipérbole está na origem
porque não há termos que deslocam a curva nas direções x ou y.
Passo 4
Vamos identificar os vértices da hipérbole. Eles estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo y, já que a hipérbole é vertical. Como
, os vértices estão em:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, precisamos também desenhar as assíntotas, que são retas que a hipérbole se aproxima quando se afasta do centro. As equações das assíntotas para uma hipérbole vertical são:
Como
, temos:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
- Centro na origem
- Vértices em
e - Assíntotas nas retas
e
O esboço da hipérbole terá duas ramos abertos para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas conforme se afastam do centro.
Resposta
A quádica
é uma hipérbole centrada na origem, com vértices em
e
, e assíntotas nas retas
e
. O esboço do gráfico apresenta dois ramos abertos verticalmente, aproximando-se das assíntotas.