Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar uma quadrica específica e fazer um esboço do seu gráfico. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda as superfícies quadráticas no espaço. Vamos precisar analisar os coeficientes da equação para descobrir que tipo de quadrica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que foi dada:
Aqui, temos os termos quadráticos de
,
e
com coeficientes positivos e negativos. A combinação desses sinais vai nos ajudar a identificar o tipo da quadrica.
Passo 3
Agora, vamos comparar com as formas padrão das quadricas. As principais categorias são:
- Elipsoide: todos os coeficientes quadráticos são positivos.
- Hiperboloide de uma folha: dois coeficientes quadráticos positivos e um negativo.
- Hiperboloide de duas folhas: um coeficiente quadrático positivo e dois negativos.
- Paraboloides: só tem um termo quadrático.
No nosso caso, temos dois coeficientes positivos (
e
) e um negativo (
). Isso nos indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Para confirmar, vamos colocar a equação na forma padrão do hiperboloide de uma folha:
Dividindo ambos os lados da equação original por 5:
Agora, fica claro que
,
e
, confirmando que é um hiperboloide de uma folha.
Resposta
A quadrica dada
é um hiperboloide de uma folha. O gráfico dessa quadrica apresenta uma superfície contínua com duas partes simétricas abertas, semelhante a uma sela estendida no espaço tridimensional.