Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
e) 3 x^2+2 y^2-4 z^2=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar uma quadrica específica e fazer um esboço do seu gráfico. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda as superfícies quadráticas no espaço. Vamos precisar analisar os coeficientes da equação para descobrir que tipo de quadrica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que foi dada:
3x^2 + 2y^2 - 4z^2 = 5
Aqui, temos os termos quadráticos de , e com coeficientes positivos e negativos. A combinação desses sinais vai nos ajudar a identificar o tipo da quadrica.

Passo 3

Agora, vamos comparar com as formas padrão das quadricas. As principais categorias são:
  • Elipsoide: todos os coeficientes quadráticos são positivos.
  • Hiperboloide de uma folha: dois coeficientes quadráticos positivos e um negativo.
  • Hiperboloide de duas folhas: um coeficiente quadrático positivo e dois negativos.
  • Paraboloides: só tem um termo quadrático.
No nosso caso, temos dois coeficientes positivos ( e ) e um negativo ( ). Isso nos indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para confirmar, vamos colocar a equação na forma padrão do hiperboloide de uma folha:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Dividindo ambos os lados da equação original por 5:
35x^2 + 25y^2 - 45z^2 = 1
Agora, fica claro que , e , confirmando que é um hiperboloide de uma folha.

Resposta

A quadrica dada é um hiperboloide de uma folha. O gráfico dessa quadrica apresenta uma superfície contínua com duas partes simétricas abertas, semelhante a uma sela estendida no espaço tridimensional.

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