(*) Considere um objeto contendo 6 osciladores unidimensionais (esse objeto poderia representar um modelo de 2 átomos em um sólido de Einstein). Há 4 quanta de energia vibracional no objeto.
(a) Há quantos microestados com essa energia?
R: 126 microestados
(b) Se você examinasse uma coleção de 48.000 objetos desse tipo, cada um contendo 4 quanta de energia, aproximadamente quantos objetos você esperaria encontrar no microestado 000004 ?

Passo 1

O enunciado dá um objeto com 6 osciladores unidimensionais e um total de 4 quanta de energia distribuídos entre esses osciladores. Pergunta-se: (a) quantos microestados existem com essa energia total; (b) numa coleção de 48\,000 objetos idênticos (cada um com 4 quanta), quantos objetos, aproximadamente, estaríamos esperando encontrar no microestado rotulado 000004?

Passo 2

Entendendo o que conta como um microestado: um microestado é uma distribuição específica dos 4 quanta entre os 6 osciladores, por exemplo 000004 significa que os cinco primeiros osciladores têm 0 quanta e o sexto tem 4. O problema de contar microestados é o clássico problema de “distribuir q objetos indistinguíveis em N caixas distinguíveis”, que se resolve pelo método das “barras e estrelas” (stars and bars). Vou explicar esse método passo a passo.

Passo 3

A ideia das “barras e estrelas”: represente cada quantum por uma estrela \ast. Para distribuir q quanta entre N osciladores distinguíveis, escrevemos q estrelas em sequência e usamos N-1 barras | para separar as caixas (osciladores). Cada arranjo diferente de estrelas e barras corresponde a uma distribuição distinta. O número total de símbolos é q+(N-1). Escolher quais q posições serão estrelas é equivalente a escolher q posições dentre q+N-1, logo o número de distribuições (microestados) é dado pela combinação
\binom{q+N-1}{q},
onde q é o número de quanta e N é o número de osciladores. Aqui explico o que cada símbolo significa: \binom{a}{b} é o número de maneiras de escolher b objetos dentre a sem ordem; q é o total de quanta; N é o número de osciladores.

Passo 4

Aplicando a fórmula com N=6 e q=4:
\binom{q+N-1}{q}=\binom{4+6-1}{4}=\binom{9}{4}.
Agora calculamos \binom{9}{4} manualmente:
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}.
Faço as multiplicações e divisões passo a passo: 9\cdot 8=72, 72\cdot 7=504, 504\cdot 6=3024. O denominador 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24. Então
\binom{9}{4}=\frac{3024}{24}=126.

Passo 5

Conclusão da parte (a): o número de microestados com 4 quanta em 6 osciladores é \;126. Uma pequena observação física: no ensemble microcanônico (energia fixa), todos os microestados compatíveis são igualmente prováveis, então cada microestado individual tem probabilidade 1/126.

Passo 6

Agora a parte (b): se temos 48\,000 objetos independentes e cada objeto tem energia que corresponde a qualquer microestado dentre esses 126 com igual probabilidade, o número esperado de objetos que estarão exatamente no microestado 000004 é
\text{esperança} = 48\,000 \times \frac{1}{126} = \frac{48\,000}{126}.ç
Calculo essa fração: 126\times 380=47\,880, restam 120, então
\frac{48\,000}{126}=380+\frac{120}{126}=380+\frac{20}{21}\approx 380{,}952\ldots
Arredondando para um número razoável de objetos, esperamos aproximadamente 381 objetos no microestado 000004.

Resposta

(a) 126 microestados
(b) aproximadamente 381 objetos no microestado 000004

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