(*) Considere um objeto contendo 6 osciladores unidimensionais (esse objeto poderia representar um modelo de 2 átomos em um sólido de Einstein). Há 4 quanta de energia vibracional no objeto.
(a) Há quantos microestados com essa energia?
R: 126 microestados
(b) Se você examinasse uma coleção de 48.000 objetos desse tipo, cada um contendo 4 quanta de energia, aproximadamente quantos objetos você esperaria encontrar no microestado 000004 ?
(a) Há quantos microestados com essa energia?
(b) Se você examinasse uma coleção de 48.000 objetos desse tipo, cada um contendo 4 quanta de energia, aproximadamente quantos objetos você esperaria encontrar no microestado 000004 ?
Passo 1
O enunciado dá um objeto com
osciladores unidimensionais e um total de
quanta de energia distribuídos entre esses osciladores. Pergunta-se: (a) quantos microestados existem com essa energia total; (b) numa coleção de
objetos idênticos (cada um com
quanta), quantos objetos, aproximadamente, estaríamos esperando encontrar no microestado rotulado
?
Passo 2
Entendendo o que conta como um microestado: um microestado é uma distribuição específica dos
quanta entre os
osciladores, por exemplo
significa que os cinco primeiros osciladores têm
quanta e o sexto tem
. O problema de contar microestados é o clássico problema de “distribuir
objetos indistinguíveis em
caixas distinguíveis”, que se resolve pelo método das “barras e estrelas” (stars and bars). Vou explicar esse método passo a passo.
Passo 3
A ideia das “barras e estrelas”: represente cada quantum por uma estrela
. Para distribuir
quanta entre
osciladores distinguíveis, escrevemos
estrelas em sequência e usamos
barras
para separar as caixas (osciladores). Cada arranjo diferente de estrelas e barras corresponde a uma distribuição distinta. O número total de símbolos é
. Escolher quais
posições serão estrelas é equivalente a escolher
posições dentre
, logo o número de distribuições (microestados) é dado pela combinação
onde
é o número de quanta e
é o número de osciladores. Aqui explico o que cada símbolo significa:
é o número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem ordem;
é o total de quanta;
é o número de osciladores.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
:
Agora calculamos
manualmente:
Faço as multiplicações e divisões passo a passo:
,
,
. O denominador
. Então
Passo 5
Conclusão da parte (a): o número de microestados com
quanta em
osciladores é
. Uma pequena observação física: no ensemble microcanônico (energia fixa), todos os microestados compatíveis são igualmente prováveis, então cada microestado individual tem probabilidade
.
Passo 6
Agora a parte (b): se temos
objetos independentes e cada objeto tem energia que corresponde a qualquer microestado dentre esses
com igual probabilidade, o número esperado de objetos que estarão exatamente no microestado
é
Calculo essa fração:
, restam
, então
Arredondando para um número razoável de objetos, esperamos aproximadamente
objetos no microestado
.
Resposta
(a)
microestados
(b) aproximadamente objetos no microestado
(b) aproximadamente