Considere um objeto que se move sempre no sentido positivo com velocidade dada por v(t)=2-t, t >= 0. Calcule o deslocamento e a distância percorrida pelo objeto entre t=1 e t=3 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do objeto como ,v(t)=2 - t para t>=0, e pede dois itens entre t=1 e t=3:
– o deslocamento, que é integral1^3v(t),dt
– a distância percorrida, que é integral1^3|v(t)|,dt
Para resolver, vamos precisar lembrar que quando v(t) muda de sinal a gente precisa quebrar a integral de |v| nos trechos onde v>=0 e v<=0.

Passo 2

Primeiro calculamos o deslocamento direto, usando antiderivada de v(t).
integral1^3v(t),dt =integral1^3(2 - t),dt =[2t - tfract^22]1^3

Passo 3

Agora avaliamos a antiderivada nos limites:
[2t - tfract^22]1^3 =(2cdot3 - tfrac3^22) - (2cdot1 - tfrac1^22) =(6 - tfrac92) - (2 - tfrac12) =tfrac12 - 92 - tfrac4 - 12 =tfrac32 - tfrac32 =0
Logo o deslocamento é 0.

Passo 4

Para a distância, achamos primeiro onde v(t)=0:
2 - t = 0implies t=2
Assim quebramos integral1^3|v(t)|,dt em integral1^2(2 - t),dt (onde v>=0) e integral2^3(t - 2),dt (onde v<=0).

Passo 5

Calculamos cada pedaço:
integral1^2(2 - t),dt =[2t - tfract^22]1^2 =(4 - 2) - (2 - tfrac12) =2 - tfrac32 =tfrac12
integral2^3(t - 2),dt =[tfract^22 - 2t]2^3 =(tfrac92 - 6) - (tfrac42 - 4) =(tfrac9 - 122) - (tfrac4 - 82) =l(-tfrac32r) - l(-tfrac42r) =-tfrac32 + 2 =tfrac12
Somando dá tfrac12 + tfrac12 =1. Logo a distância percorrida é 1.

Resposta

Deslocamento =0
Distância percorrida =1

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