Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação algébrica para encontrar a soma e o limite.
integral0^pi sen 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral
integral0^pisen(5x),dx
como limite de somas de Riemann e depois usar um sistema algébrico para calcular essa soma no limite. Vamos precisar dos conceitos de partição de um intervalo, soma de Riemann e, em seguida, de uma fórmula para somar termos do tipo sen(ktheta).

Passo 2

Particionamos [0,pi] em n subintervalos iguais de comprimento
De<a x = pin,
e definimos os pontos de amostragem
xi = i,De<a x = i,pin, i=1,2,dots,n
A soma de Riemann associada é
Sn ;=;sumi=1^nsenl(5xir),De<a x ;=;pinsumi=1^nsen!l(5,i,tfracpinr)
E a integral é
integral0^pisen(5x),dx =limntoinftySn

Passo 3

Para avaliar
sumi=1^nsen!l(5,i,tfracpinr)
podemos usar a identidade conhecida
sumk=1^nsen(ktheta) =senl(tfracntheta2r),senl(tfrac(n+1)theta2r)% senl(tfractheta2r)
Aqui theta=5pi/n. Usando um sistema de álgebra simbólica (por exemplo Sympy, Mathematica ou outro), obtemos para a soma
sumi=1^nsen!l(5,i,tfracpinr) =sen!l(tfrac5pi2r),sen!l(tfrac5(n+1)pi2nr)% sen!l(tfrac5pi2nr) =-sen!l(tfrac5(n+1)pi2nr)sen!l(tfrac5pi2nr)
porque sen(5pi/2)=-1.

Passo 4

Multiplicando por De<a x=pi/n e passando ao limite ntoinfty, o sistema algébrico nos dá
Sn =pin;-sen!l(tfrac5(n+1)pi2nr)% sen!l(tfrac5pi2nr) ;xrightarrow[ntoinfty]; 25
Alternativamente, quem já conhece o Teorema Fundamental do Cálculo vê direto que
integral0^pisen(5x),dx =l[-tfrac15cos(5x)r]0^pi =-tfrac15l(cos(5pi)-cos(0)r) =-tfrac15l((-1)-1r) =tfrac25

Resposta

integral0^pisen(5x),dx = 25

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