Considere um objeto em queda com massa m=10 kg e coeficiente de resistência do ar gamma=2 kg/s.
Investigue, sem resolver, o comportamento das soluções.

Passo 1

O enunciado descreve o movimento de um objeto de massa m=10 kg sob a ação da gravidade (aceleração g) e de uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, com coeficiente gamma=2 kg/s. O conteúdo é uma equação diferencial linear de 1ª ordem autônoma em v(t). Vamos estudar qualitativamente onde estão os equilíbrios e sua estabilidade, sem resolver explicitamente a integral da equação.

Passo 2

Escrevemos a equação de Newton na forma padrão:
dvdt = g - gammam,v
ou, equivalentemente,
dvdt + gammam,v = g
Aqui
gammam = 210 = 0,2;s^-1

Passo 3

O ponto de equilíbrio (velocidade terminal) satisfaz dvdt=0. Logo,
vter = m,ggamma
Numericamente, para gapprox 9,8,m/ s^2, obtemos
vter = 10 cdot 9,82 = 49;m/s

Passo 4

Para estudar a estabilidade, note que linearizando em torno de vter surge
dvdt = -gammam,(v - vter).
Como -gamma/m = -0,2;s^-1<0, o equilíbrio é assintoticamente estável: qualquer perturbação decai exponencialmente.

Passo 5

Conclusão sobre o sinal de dvdt:
  • Se v(0)<vter, então dvdt>0 e v(t) cresce monotonamente, aproximando-se de vter.
  • Se v(0)>vter, então dvdt<0 e v(t) decresce monotonamente até vter.
    O ajuste ao equilíbrio ocorre com constante de tempo
tau = mgamma = 5;s,
isto é, o desvio |v(t)-vter| cai como exp(-t/tau).

Passo 6

Quanto à posição y(t), como y' = v(t), ela exibe duas fases:
  • Para tlltau, v(t)approx g,t e y(t)approx tfrac12,g,t^2 (regime livre sem resistência).
  • Para tggtau, v(t)approx vter constante, logo y(t) cresce quase linearmente com inclinação vter.

Resposta

O sistema possui um único equilíbrio em
vter = m,ggamma = 49;m/s,
que é assintoticamente estável. As soluções v(t) convergem exponencialmente a esse valor (tempo característico tau=5 s), crescendo monotonicamente se partirem abaixo de vter e decrescendo monotonicamente se partirem acima. A posição y(t) passa de um regime inicial quadrático para crescimento linear assintótico com velocidade vter.

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