Considere um objeto em queda com massa
e coeficiente de resistência do ar
kg/s.
Investigue, sem resolver, o comportamento das soluções.
Investigue, sem resolver, o comportamento das soluções.
Passo 1
O enunciado descreve o movimento de um objeto de massa
kg sob a ação da gravidade (aceleração
) e de uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, com coeficiente
kg/s. O conteúdo é uma equação diferencial linear de
ª ordem autônoma em
. Vamos estudar qualitativamente onde estão os equilíbrios e sua estabilidade, sem resolver explicitamente a integral da equação.
Passo 2
Escrevemos a equação de Newton na forma padrão:
ou, equivalentemente,
Aqui
Passo 3
O ponto de equilíbrio (velocidade terminal) satisfaz
. Logo,
Numericamente, para
,m/
, obtemos
Passo 4
Para estudar a estabilidade, note que linearizando em torno de
surge
.
Como , o equilíbrio é assintoticamente estável: qualquer perturbação decai exponencialmente.
Como
Passo 5
Conclusão sobre o sinal de
:
- Se
, então e cresce monotonamente, aproximando-se de . - Se
, então e decresce monotonamente até .
O ajuste ao equilíbrio ocorre com constante de tempo
isto é, o desvio
cai como
.
Passo 6
Quanto à posição
, como
, ela exibe duas fases:
- Para
, e (regime livre sem resistência). - Para
, constante, logo cresce quase linearmente com inclinação .
Resposta
O sistema possui um único equilíbrio em
que é assintoticamente estável. As soluções
convergem exponencialmente a esse valor (tempo característico
s), crescendo monotonicamente se partirem abaixo de
e decrescendo monotonicamente se partirem acima. A posição
passa de um regime inicial quadrático para crescimento linear assintótico com velocidade
.