Encontre a solução geral da equação e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t infty.
y^prime+3 y=1+e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: $ y’ + 3y = 1 + e^{-2t} $. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão $ y’ + P(t)y = Q(t) $. Aqui, $ P(t) = 3 $ e $ Q(t) = 1 + e^{-2t} $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a integração.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por $ \mu(t) = e^{\int P(t) dt} $. Como $ P(t) = 3 $, temos:
mu(t)
Esse fator vai ajudar a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{3t} $:
e^3t
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t)y $, ou seja:
e^3ty' + 3e^3ty = e^3t(1 + e^-2t)

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{3t}y $. Do lado direito, integramos termo a termo:
integral ddt(e^3ty) dt = integral (e^3t + e^t) dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar $ y $, dividimos tudo por $ e^{3t} $:
y
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = 13 + e^-2t + Ce^-3t
Quando $ t \rightarrow \infty $, os termos $ e^{-2t} $ e $ Ce^{-3t} $ tendem a zero, então:
t infty
Isso significa que, conforme o tempo aumenta, a solução se aproxima de $ \frac{1}{3} $.

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