Encontre a solução geral da equação e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: $ y’ + 3y = 1 + e^{-2t} $. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação na forma padrão $ y’ + P(t)y = Q(t) $. Aqui, $ P(t) = 3 $ e $ Q(t) = 1 + e^{-2t} $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a integração.
Passo 3
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por $ \mu(t) = e^{\int P(t) dt} $. Como $ P(t) = 3 $, temos:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{3t} $:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t)y $, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{3t}y $. Do lado direito, integramos termo a termo:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar $ y $, dividimos tudo por $ e^{3t} $:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
Quando $ t \rightarrow \infty $, os termos $ e^{-2t} $ e $ Ce^{-3t} $ tendem a zero, então:
Isso significa que, conforme o tempo aumenta, a solução se aproxima de $ \frac{1}{3} $.