Determinar o domínio e faça um esboço geométrico do domínio das seguintes funções:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio das funções
e
, além de fazer um esboço geométrico dessas regiões. Isso envolve conceitos de funções logarítmicas e aritmética de polinômios, então vamos usar essas ferramentas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica
só está definida quando
. Isso significa que, para cada uma das funções, precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja positivo.
Passo 3
Vamos começar com a função
.
Para que
esteja definida:
Passo 4
Resolvendo a desigualdade:
Dividindo todos os termos por 36 para simplificar:
Passo 5
Isso representa a equação de uma elipse com semi-eixos de comprimento 3 (no eixo x) e 2 (no eixo y). Portanto, o domínio de
é o conjunto de pontos
que estão dentro dessa elipse.
Passo 6
Agora, vamos para a função
.
Dentro do logaritmo, temos
, que é sempre não negativo porque é a distância do ponto
até a origem. Para que o logaritmo esteja definido:
Passo 7
Isso significa que
, o que é verdade para todos os pontos no plano
exceto o ponto
. Então, o domínio de
é todo o plano menos a origem.
Passo 8
Agora, para o esboço geométrico:
-
Domínio de
: Desenhe uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 3 no eixo x e 2 no eixo y. A região dentro dessa elipse representa o domínio. -
Domínio de
: Imagine todo o plano cheio, mas faça um pequeno buraco (um ponto vazio) na origem, já que lá a função não está definida.
Resposta
O domínio de
é o conjunto de pontos dentro da elipse
.
O domínio de é todo o plano
exceto o ponto
.
O domínio de