Determinar o domínio e faça um esboço geométrico do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=ln (36-4 x^2-9 y^2) e g(x, y)=ln (raizx^2+y^2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio das funções f(x, y) = ln (36 - 4x^2 - 9y^2) e g(x, y) = ln (raizx^2 + y^2) , além de fazer um esboço geométrico dessas regiões. Isso envolve conceitos de funções logarítmicas e aritmética de polinômios, então vamos usar essas ferramentas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica ln(A) só está definida quando A > 0 . Isso significa que, para cada uma das funções, precisamos garantir que o que está dentro do logaritmo seja positivo.

Passo 3

Vamos começar com a função f(x, y) = ln (36 - 4x^2 - 9y^2) .
Para que f(x, y) esteja definida:
36 - 4x^2 - 9y^2 > 0

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
36 > 4x^2 + 9y^2
Dividindo todos os termos por 36 para simplificar:
1 > 4x^236 + 9y^236
1 > x^29 + y^24

Passo 5

Isso representa a equação de uma elipse com semi-eixos de comprimento 3 (no eixo x) e 2 (no eixo y). Portanto, o domínio de f(x, y) é o conjunto de pontos (x, y) que estão dentro dessa elipse.

Passo 6

Agora, vamos para a função g(x, y) = ln (raizx^2 + y^2) .
Dentro do logaritmo, temos raizx^2 + y^2 , que é sempre não negativo porque é a distância do ponto (x, y) até a origem. Para que o logaritmo esteja definido:
raizx^2 + y^2 > 0

Passo 7

Isso significa que x^2 + y^2 > 0 , o que é verdade para todos os pontos no plano xy exceto o ponto (0, 0) . Então, o domínio de g(x, y) é todo o plano menos a origem.

Passo 8

Agora, para o esboço geométrico:
  • Domínio de f(x, y) : Desenhe uma elipse centrada na origem com semi-eixos de 3 no eixo x e 2 no eixo y. A região dentro dessa elipse representa o domínio.
  • Domínio de g(x, y) : Imagine todo o plano xy cheio, mas faça um pequeno buraco (um ponto vazio) na origem, já que lá a função não está definida.

Resposta

O domínio de f(x, y) é o conjunto de pontos dentro da elipse x^29 + y^24 < 1 .
O domínio de g(x, y) é todo o plano xy exceto o ponto (0, 0) .

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