Considere
. Prove que
e a união é disjunta é álgebra.
Passo 1
Estamos trabalhando em
e definimos
como o conjunto de uniões finitas disjuntas de intervalos semiabertos da forma
contidos em
. Nosso objetivo é mostrar que
é uma álgebra, ou seja, que contém
e é fechada sob uniões finitas e complementos relativos a
.
Passo 2
Note que
é exatamente um intervalo semiaberto, logo
.
Passo 3
Para fechar sob uniões finitas, considere
e
em
. Separamos todos os extremos
, ordenamos em
e analisamos cada intervalo
. Cada um desses pedaços ou está contido em
ou não. A união dos pedaços que caem em
resulta em uma união finita disjunta de semiabertos, logo
.
Passo 4
Para o complemento relativo em
, seja
com
. Então
[
]
[
]
Passo 5
Cada pedaço acima é um intervalo semiaberto e a união é disjunta e finita. Logo
.
Passo 6
Como temos
, fechadura sob uniões finitas e sob complementos, concluímos que
é álgebra sobre
.
Resposta
Logo,
é uma álgebra sobre
.