Considere Omega=(0,1]. Prove que
A=A subset Omega: A=cupi=1^n(ai, bi],
e a união é disjunta é álgebra.

Passo 1

Estamos trabalhando em Omega=(0,1] e definimos A como o conjunto de uniões finitas disjuntas de intervalos semiabertos da forma (ai,bi] contidos em (0,1]. Nosso objetivo é mostrar que A é uma álgebra, ou seja, que contém Omega e é fechada sob uniões finitas e complementos relativos a Omega.

Passo 2

Note que Omega=(0,1] é exatamente um intervalo semiaberto, logo OmegainA.

Passo 3

Para fechar sob uniões finitas, considere A=cupi=1^n(ai,bi] e B=cupj=1^m(cj,dj] em A. Separamos todos os extremos ai,bi,cj,dj, ordenamos em 0=e0 e analisamos cada intervalo (er-1,er]. Cada um desses pedaços ou está contido em Acup B ou não. A união dos pedaços que caem em Acup B resulta em uma união finita disjunta de semiabertos, logo Acup BinA.

Passo 4

Para o complemento relativo em Omega, seja A=cupi=1^n(ai,bi] com 0. Então
[ A^c=Omegasetminus A=l(0,a1r],cup,cupi=1^n-1l(bi,ai+1r],cup,l(bn,1r]
]

Passo 5

Cada pedaço acima é um intervalo semiaberto e a união é disjunta e finita. Logo A^cinA.

Passo 6

Como temos OmegainA, fechadura sob uniões finitas e sob complementos, concluímos que A é álgebra sobre Omega.

Resposta

Logo, A é uma álgebra sobre Omega=(0,1].

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