Mostre que se
e
são álgebras de subconjuntos de
, então
é álgebra.
Passo 1
Resumo do enunciado e definição de álgebra: Temos duas álgebras de subconjuntos de
, chamadas
e
. Por definição, uma álgebra
sobre
é uma família não vazia de subconjuntos de
que satisfaz: (i) se
então
, e (ii) se
então
. Queremos mostrar que
também satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Mostrar que
não é vazia: Como cada álgebra
contém
(essa é uma consequência de fechar sob complemento, já que
e depois
), segue que
e
. Logo
, então a interseção não é vazia.
Passo 3
Fechar sob complemento: Seja
. Isso significa que
e
. Como ambas as famílias são álgebras, temos
e
. Portanto
, ou seja, a interseção fecha sob complemento.
Passo 4
Fechar sob união: Tome
. Então
pertencem a cada
. Como cada
é álgebra, segue
para
. Assim
, mostrando fechamento sob união.
Resposta
Como
contém
, fecha-se sob complemento e sob união, ela satisfaz exatamente a definição de álgebra de subconjuntos de
. Portanto,
é uma álgebra.