Mostre que se A1 e A2 são álgebras de subconjuntos de Omega, então A1 cap A2 é álgebra.

Passo 1

Resumo do enunciado e definição de álgebra: Temos duas álgebras de subconjuntos de Omega, chamadas A1 e A2. Por definição, uma álgebra A sobre Omega é uma família não vazia de subconjuntos de Omega que satisfaz: (i) se AinA então A^cinA, e (ii) se A,BinA então Acup BinA. Queremos mostrar que A1capA2 também satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Mostrar que A1capA2 não é vazia: Como cada álgebra Ai contém Omega (essa é uma consequência de fechar sob complemento, já que emptyset=Omega^c e depois Omega=(emptyset)^c), segue que OmegainA1 e OmegainA2. Logo
OmegainA1capA2, então a interseção não é vazia.

Passo 3

Fechar sob complemento: Seja Ain A1capA2. Isso significa que AinA1 e AinA2. Como ambas as famílias são álgebras, temos A^cinA1 e A^cinA2. Portanto
A^cinA1capA2, ou seja, a interseção fecha sob complemento.

Passo 4

Fechar sob união: Tome A,BinA1capA2. Então A,B pertencem a cada Ai. Como cada Ai é álgebra, segue Acup BinAi para i=1,2. Assim
Acup BinA1capA2, mostrando fechamento sob união.

Resposta

Como A1capA2 contém Omega, fecha-se sob complemento e sob união, ela satisfaz exatamente a definição de álgebra de subconjuntos de Omega. Portanto, A1capA2 é uma álgebra.

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