Mostre que a coleção
não é uma
-álgebra sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a coleção
não é uma
-álgebra sobre
. O tema é teoria de medidas, mais especificamente a definição de
-álgebra e suas propriedades de fechamento.
Passo 2
Lembremos que uma coleção
é
-álgebra se e só se satisfaz: (i)
, (ii) se
então
, e (iii) se
para todo
, então
. Vamos verificar a falha no item (iii).
Passo 3
Primeiro observação:
é fechada para complementos. De fato, se
é finito então
é cofinito (i.e. seu complemento é finito), logo
; se
é finito então
é cofinito, de novo
. Assim (ii) está ok.
Passo 4
Para ver que não é
-álgebra precisamos achar uma sequência
tal que
onde
são distintos em
infinito. Cada
é finito, então
. Mas
é um subconjunto infinito de
cuja complementar é também infinito. Logo essa união não está em
. Portanto a coleção falha em fechar-se para uniões contáveis.
Passo 5
Concluímos que
não é fechada sob uniões numeráveis, logo não é uma
-álgebra sobre
.
Resposta
A contraexemplo das uniões de conjuntos unitários mostra que
não é fechada em uniões contáveis; portanto não é uma
-álgebra.