Mostre que a coleção
A=A subset Omega: A é finito ou A^c é finito éé
não é uma sigma-álgebra sobre Omega.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a coleção A=AsubsetOmega:;A é finito ou A^c é finitoéé não é uma sigma-álgebra sobre Omega. O tema é teoria de medidas, mais especificamente a definição de sigma-álgebra e suas propriedades de fechamento.

Passo 2

Lembremos que uma coleção F é sigma-álgebra se e só se satisfaz: (i) OmegainF, (ii) se AinF então A^cinF, e (iii) se AninF para todo ninN, então cupn=1^infty AninF. Vamos verificar a falha no item (iii).

Passo 3

Primeiro observação: A é fechada para complementos. De fato, se A é finito então A^c é cofinito (i.e. seu complemento é finito), logo A^cinA; se A^c é finito então A é cofinito, de novo A^cinA. Assim (ii) está ok.

Passo 4

Para ver que não é sigma-álgebra precisamos achar uma sequência (An)subsetA tal que
An=xn,
onde xnn>=1 são distintos em Omega infinito. Cada An é finito, então AninA. Mas
cupn=1^infty An=x1,x2,x3,dots
é um subconjunto infinito de Omega cuja complementar é também infinito. Logo essa união não está em A. Portanto a coleção falha em fechar-se para uniões contáveis.

Passo 5

Concluímos que A não é fechada sob uniões numeráveis, logo não é uma sigma-álgebra sobre Omega.

Resposta

A contra­exemplo das uniões de conjuntos unitários mostra que A não é fechada em uniões contáveis; portanto não é uma sigma-álgebra.

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