Prove que a coleção
A=A subset Omega: A é finito ou A^c é finito éé
é álgebra sobre Omega.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a coleção A=AsubsetOmega:,A é finito ou A^c é finitoéé é uma álgebra de conjuntos sobre Omega. Vamos usar a definição: uma álgebra sobre Omega é uma família de subconjuntos de Omega que contém Omega, é fechada sob complemento e sob uniões finitas.

Passo 2

Primeiro mostramos que Omega e emptyset estão em A. Note que emptyset é finito, logo emptysetin A. Também Omega^c=emptyset é finito, então Omegain A.

Passo 3

Agora verificamos fechamento sob complemento. Se Ain A, há dois casos:
  • Se A é finito, então A^c é cofinito (complementar de um finito).
  • Se A^c é finito, então A é cofinito e (A^c)^c=A é finito.
    Em ambos os casos A^c é finito ou cofinito, logo A^cin A.

Passo 4

Finalmente, mostramos fechamento sob união de dois conjuntos. Se A,Bin A, consideramos:
  1. Se A e B são finitos, então Acup B é união de finitos, logo finito e está em A.
  2. Se um é finito e o outro é cofinito, digamos A finito e B^c finito, então
(Acup B)^c=A^ccap B^c
Aqui B^c é finito e A^c é qualquer coisa, mas a interseção com um finito é finita, então (Acup B)^c é finito, isto é, Acup B é cofinito em Omega.
3. Se A^c e B^c são finitos, então
(Acup B)^c=A^ccap B^c
é interseção de finitos, logo finito, ou seja, Acup B é cofinito.
Em todas as situações Acup Bin A.

Resposta

Portanto, a coleção dos conjuntos finitos e cofinito forma de fato uma álgebra de conjuntos sobre Omega.

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