Prove que a coleção
é álgebra sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a coleção
é uma álgebra de conjuntos sobre
. Vamos usar a definição: uma álgebra sobre
é uma família de subconjuntos de
que contém
, é fechada sob complemento e sob uniões finitas.
Passo 2
Primeiro mostramos que
e
estão em
. Note que
é finito, logo
. Também
é finito, então
.
Passo 3
Agora verificamos fechamento sob complemento. Se
, há dois casos:
- Se
é finito, então é cofinito (complementar de um finito). - Se
é finito, então é cofinito e é finito.
Em ambos os casosé finito ou cofinito, logo .
Passo 4
Finalmente, mostramos fechamento sob união de dois conjuntos. Se
, consideramos:
- Se
e são finitos, então é união de finitos, logo finito e está em . - Se um é finito e o outro é cofinito, digamos
finito e finito, então
Aqui
é finito e
é qualquer coisa, mas a interseção com um finito é finita, então
é finito, isto é,
é cofinito em
.
3. Se e
são finitos, então
3. Se
é interseção de finitos, logo finito, ou seja,
é cofinito.
Em todas as situações .
Em todas as situações
Resposta
Portanto, a coleção dos conjuntos finitos e cofinito forma de fato uma álgebra de conjuntos sobre
.