Considere
infinito, não enumerável. Mostre que a coleção
é enumerável ou
é enumerável
é uma
-álgebra sobre
.
Passo 1
Temos um espaço
infinito e não enumerável, e definimos \(
\mathcal{F} = {A \subset \Omega : A\text{ é enumerável ou }A^c\text{ é enumerável}}.) O objetivo é mostrar que \(
\mathcal{F}) é uma $\sigma$-álgebra, ou seja: contém $\Omega$, é fechado sob complementos e sob uniões enumeráveis.
\mathcal{F} = {A \subset \Omega : A\text{ é enumerável ou }A^c\text{ é enumerável}}.) O objetivo é mostrar que \(
\mathcal{F}) é uma $\sigma$-álgebra, ou seja: contém $\Omega$, é fechado sob complementos e sob uniões enumeráveis.
Passo 2
Primeiro, pela definição de
-álgebra, precisamos verificar que $\Omega \in \mathcal{F}$. Note que $\Omega^c = \varnothing$, e $\varnothing$ é um conjunto enumerável (até finito). Logo $\Omega \in \mathcal{F}$.
Passo 3
Agora, mostramos que
é fechado sob complementação. Se
, então ou $A$ é enumerável ou $A^c$ é enumerável. No primeiro caso, $(Ac)c = A$ é enumerável, logo $A^c$ tem complemento enumerável e assim $A^c\in \mathcal{F}$. No segundo, se $A^c$ é enumerável, então $A$ é complemento enumerável, logo também $A^c\in \mathcal{F}$.
Passo 4
Por fim, falta a união enumerável. Tome uma sequência $(A_n){n=1}^\infty \subset \mathcal{F}$ e defina $A = \bigcup{n=1}^\infty A_n$. Se existir algum $k$ tal que $A_k^c$ seja enumerável, então
que é subconjunto de um conjunto enumerável, portanto enumerável. Logo $A$ tem complemento enumerável e $A\in \mathcal{F}$. Se, por outro lado, todos os $A_n$ forem enumeráveis, então a união numerável de conjuntos enumeráveis é enumerável, logo $A$ é enumerável e $A\in \mathcal{F}$.
Resposta
Dessa forma, $\mathcal{F}$ satisfaz todos os requisitos de $\sigma$-álgebra sobre $\Omega$.