Mostre que
é gerado pelos conjuntos da forma
, a] para
, e também pelos conjuntos da forma
, a) para
.
Passo 1
Vamos mostrar que a sigma-álgebra de Borel em ℝ, denotada por
, coincide tanto com
quanto com
.
Passo 2
Definimos
. Primeiro, cada
é fechado, logo está em
. Daí
. Por outro lado, qualquer intervalo aberto
pode ser escrito como união de semi-abertos à direita:
Passo 3
e cada
Passo 4
Como interseções, complementos e uniões contáveis de conjuntos de
ficam em
, segue que
. E como toda união de intervalos abertos é aberta, temos
. Concluímos então que
.
Passo 5
Agora tomamos
. Cada
é aberto, logo
. Para a recíproca, notamos que cada
Passo 6
está em
. Assim
, o que implica
Passo 7
Portanto
.
Resposta
A sigma-álgebra de Borel em ℝ é gerada tanto pela família de semi-intervalos à esquerda fechados
quanto pela de semi-intervalos à esquerda abertos
.