Mostre que B(R) é gerado pelos conjuntos da forma [-infty, a] para -infty, e também pelos conjuntos da forma [-infty, a) para -infty< a.

Passo 1

Vamos mostrar que a sigma-álgebra de Borel em ℝ, denotada por B(R), coincide tanto com sigmal((-infty,a]:ainRr) quanto com sigmal((-infty,a):ainRr).

Passo 2

Definimos G1=(-infty,a]:ainR. Primeiro, cada ( -infty,a] é fechado, logo está em B(R). Daí sigma(G1)subseteqB(R). Por outro lado, qualquer intervalo aberto (c,d) pode ser escrito como união de semi-abertos à direita:
(c,d)=cupn=1^inftyl(c,,d-tfrac1nr],

Passo 3

e cada
l(c,,d-tfrac1nr]=(-infty,d-tfrac1n];cap;l((- obreak",-infty,c]r)^c

Passo 4

Como interseções, complementos e uniões contáveis de conjuntos de G1 ficam em sigma(G1), segue que (c,d)insigma(G1). E como toda união de intervalos abertos é aberta, temos B(R)subseteqsigma(G1). Concluímos então que sigma(G1)=B(R).

Passo 5

Agora tomamos G2=(-infty,a):ainR. Cada ( -infty,a) é aberto, logo sigma(G2)subseteqB(R). Para a recíproca, notamos que cada
(-infty,a]=capn=1^infty(-infty,a+tfrac1n)

Passo 6

está em sigma(G2). Assim G1subseteqsigma(G2), o que implica
B(R)=sigma(G1)subseteqsigma(G2)subseteqB(R)

Passo 7

Portanto sigma(G2)=B(R).

Resposta

A sigma-álgebra de Borel em ℝ é gerada tanto pela família de semi-intervalos à esquerda fechados quanto pela de semi-intervalos à esquerda abertos .

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