(a) Considere a uma onda descrita pelo perfil
h(x, t)=A cos (k x-omega t+phi),
onde A, k, omega e phi são constantes. Derivando duas vezes, respectivamente, com relação a t e a x, mostre que a função h satisfaz a equação de onda
1v^2 partial^2 h(x, t)partial t^2-partial^2 h(x, t)partial x^2=0,
onde partial / partial t e partial / partial x denotam as derivadas parciais da função h com relação às variáveis t e x e v=omega / k. (b) Verifique que qualquer perfil da forma h(x, t)=h(x pm v t) é solução da equação de onda acima. (c) Verifique que se duas funções h1(x, t) e h2(x, t) forem soluções dessa equação, sua soma também será.

Passo 1

O enunciado trata da equação de onda unidimensional
1v^2partial^2h(x,t)partial t^2 ;-;partial^2h(x,t)partial x^2 ;=;0,
onde v=omega/k.
Em (a) vamos verificar que
h(x,t)=Acosl(kx-omega t+phir)
satisfaz essa PDE calculando partial^2h/partial t^2 e partial^2h/partial x^2 e mostrando que a combinação na equação de onda dá zero.
Em (b) mostraremos, por regra da cadeia, que qualquer perfil da forma h(x,t)=H(xpm vt) satisfaz a mesma PDE.
Em (c) usaremos a linearidade da equação para ver que soma de soluções também é solução.

Passo 2

(a) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
h(x,t)=Acosl(kx-omega t+phir)
Pela derivação em t usando a regra da cadeia:
partial hpartial t = Al[-sin(kx-omega t+phi)r]cdot(-omega) = Aomegasin(kx-omega t+phi),
partial^2 hpartial t^2 = Aomegapartialpartial tl[sin(kx-omega t+phi)r] = Aomegacos(kx-omega t+phi)cdot(-omega) = -Aomega^2cos(kx-omega t+phi)
De modo similar, em x:
partial hpartial x = Al[-sin(kx-omega t+phi)r]cdot k = -Aksin(kx-omega t+phi),
partial^2 hpartial x^2 = -Akpartialpartial xl[sin(kx-omega t+phi)r] = -Akcos(kx-omega t+phi)cdot k = -Ak^2cos(kx-omega t+phi)
Agora substituímos na equação de onda:
1v^2,partial^2 hpartial t^2 -partial^2 hpartial x^2 = 1v^2l[-Aomega^2cos(cdots)r] -l[-Ak^2cos(cdots)r]
Como v=omega/k, temos 1/v^2=k^2/omega^2. Logo
1v^2(-Aomega^2) + A k^2 = -Aomega^2k^2omega^2 + Ak^2 = -Ak^2 + Ak^2 =0
Portanto a combinação dá zero, e o perfil harmônico satisfaz a equação.

Passo 3

(b) Seja agora um perfil arbitrário
h(x,t)=Hl(xir), xi = xpm vt
Pela regra da cadeia,
partial hpartial t = H'(xi),partialxipartial t = H'(xi),(pm v), partial^2 hpartial t^2 = H''(xi),(pm v)^2 = v^2,H''(xi),
partial hpartial x = H'(xi),partialxipartial x = H'(xi),(1), partial^2 hpartial x^2 = H''(xi),(1)^2 = H''(xi)
Substituindo na equação de onda:
1v^2partial^2 hpartial t^2 -partial^2 hpartial x^2 = 1v^2l[v^2H''(xi)r] - H''(xi) = H''(xi)-H''(xi) =0
Logo qualquer H(xpm vt) satisfaz a equação de onda.

Passo 4

(c) A equação de onda é linear e homogênea, pois só envolve combinações lineares de h e suas derivadas sem termo independente. Se h1 e h2 satisfazem
1v^2partial^2hipartial t^2 -partial^2hipartial x^2 =0, i=1,2,
então, para h=h1+h2,
1v^2partial^2(h1+h2)partial t^2 -partial^2(h1+h2)partial x^2 = l(1v^2partial^2h1partial t^2-partial^2h1partial x^2r) + l(1v^2partial^2h2partial t^2-partial^2h2partial x^2r) =0+0=0
Assim, a soma também é solução.

Resposta

(a) Substituindo as derivadas de Acos(kx-omega t+phi) na equação de onda obtém-se zero.
(b) Um perfil H(xpm vt) satisfaz por regra da cadeia: tfrac1v^2partial^2t h - partial^2x h=0.
(c) A equação é linear e homogênea, logo h1+h2 também satisfaz a mesma equação.

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