(a) Considere a uma onda descrita pelo perfil
onde
e
são constantes. Derivando duas vezes, respectivamente, com relação a
e a
, mostre que a função
satisfaz a equação de onda
onde
e
denotam as derivadas parciais da função
com relação às variáveis
. (b) Verifique que qualquer perfil da forma
é solução da equação de onda acima. (c) Verifique que se duas funções
e
forem soluções dessa equação, sua soma também será.
Passo 1
O enunciado trata da equação de onda unidimensional
onde
.
Em (a) vamos verificar que
Em (a) vamos verificar que
satisfaz essa PDE calculando
e
e mostrando que a combinação na equação de onda dá zero.
Em (b) mostraremos, por regra da cadeia, que qualquer perfil da forma satisfaz a mesma PDE.
Em (c) usaremos a linearidade da equação para ver que soma de soluções também é solução.
Em (b) mostraremos, por regra da cadeia, que qualquer perfil da forma
Em (c) usaremos a linearidade da equação para ver que soma de soluções também é solução.
Passo 2
(a) Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
Pela derivação em
usando a regra da cadeia:
De modo similar, em
:
Agora substituímos na equação de onda:
Como
, temos
. Logo
Portanto a combinação dá zero, e o perfil harmônico satisfaz a equação.
Passo 3
(b) Seja agora um perfil arbitrário
Pela regra da cadeia,
Substituindo na equação de onda:
Logo qualquer
satisfaz a equação de onda.
Passo 4
(c) A equação de onda é linear e homogênea, pois só envolve combinações lineares de
e suas derivadas sem termo independente. Se
e
satisfazem
então, para
,
Assim, a soma também é solução.
Resposta
(a) Substituindo as derivadas de
na equação de onda obtém-se zero.
(b) Um perfil satisfaz por regra da cadeia:
.
(c) A equação é linear e homogênea, logo também satisfaz a mesma equação.
(b) Um perfil
(c) A equação é linear e homogênea, logo