Faça a dedução da lei de velocidade de segunda ordem para dois reagentes A e B, faça usando a dedução das integrais

Passo 1

O enunciado pede a dedução da lei de velocidade integrada para uma reação de segunda ordem entre dois reagentes A e B com estequiometria 1:1 e ordem global 2, isto é, com taxa
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]\,[B].
Para resolver, vamos usar equações diferenciais separáveis, relacionar as concentrações via estequiometria e empregar frações parciais para integrar.

Passo 2

Pela estequiometria A + B \to \text{produtos}, se x é o avanço, então
[A] = [A]_0 - x, \quad [B] = [B]_0 - x.
Como x = [A]_0 - [A], temos
[B] = [B]_0 - \bigl([A]_0 - [A]\bigr) = [A] + \bigl([B]_0 - [A]_0\bigr).
Defina C = [B]_0 - [A]_0; assim [B]=[A]+C.

Passo 3

Substituindo [B]=[A]+C na taxa, obtemos a equação diferencial separável:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]\,\bigl([A]+C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d[A]}{[A]\,([A]+C)} = -k\,dt.
Para integrar o lado esquerdo, decompomos em frações parciais:
\frac{1}{[A]\bigl([A]+C\bigr)} = \frac{1}{C}\,\biggl(\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]+C}\biggr).

Passo 4

Integramos de t=0 (onde [A]=[A]_0) até t=t (onde [A]=[A]):
\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d\tilde{A}}{\tilde{A}(\tilde{A}+C)} = \int_0^t -k\,dt.
Pelas frações parciais:
\frac{1}{C}\biggl[ \ln\frac{[A]}{[A]+C} - \ln\frac{[A]_0}{[A]_0 + C} \biggr] = -k\,t.

Passo 5

Observando [A]_0 + C = [B]_0 e [A] + C = [B], a equação fica
\ln\frac{[A]/[B]}{[A]_0/[B]_0} = -\,k\,C\,t \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{[B]\,[A]_0}{[A]\,[B]_0} = k\,\bigl([B]_0 - [A]_0\bigr)\,t.
Isolando t ou dividindo ambos os lados por [B]_0-[A]_0, temos a forma integrada final.

Resposta

\frac{1}{[B]_0 - [A]_0} \ln\!\biggl(\frac{[B]\, [A]_0}{[A]\, [B]_0}\biggr) = k\,t.

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