Considere uma onda eletromagnética se propagando na direção
. De acordo com o electromagnetismo clássico,
. Mostre que tal expressão é invariante de Lorentz estabelecendo a sua equivalência com a seguinte expressão:
(manifestamente invariante de Lorentz), em que
é um 4-vetor orientado na direção de propagação da onda e
é o tensor de campo eletromagnético.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma onda eletromagnética plana se propagando segundo o vetor de onda
, as condições clássicas
e
são equivalentes à forma covariante
, manifestamente invariante de Lorentz.
Passo 2
Introduzimos o 4-vetor de onda
e o tensor eletromagnético cujas componentes são
onde
e
é o símbolo de Levi-Civita.
Passo 3
Contratando
para
vem
Passo 4
Para
(com
) obtemos
ou em forma vetorial
Passo 5
Tomando o produto vetorial com
, usando
e a identidade de triplo produto
que implica
Resposta
As componentes
e
da equação covariante
reproduzem respectivamente
e, via identidade vetorial,
. Portanto, as condições clássicas de transversidade são equivalentes à forma covariante e, assim, invariantes de Lorentz.