Considere uma onda eletromagnética se propagando na direção k. De acordo com o electromagnetismo clássico, k cdot E=k cdot B=0. Mostre que tal expressão é invariante de Lorentz estabelecendo a sua equivalência com a seguinte expressão: eta^mu Fmu nu=0 (manifestamente invariante de Lorentz), em que eta^mu é um 4-vetor orientado na direção de propagação da onda e Fmu nu é o tensor de campo eletromagnético.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma onda eletromagnética plana se propagando segundo o vetor de onda k, as condições clássicas kcdotE=0 e kcdotB=0 são equivalentes à forma covariante eta^muFmunu=0, manifestamente invariante de Lorentz.

Passo 2

Introduzimos o 4-vetor de onda
eta^mu=l(omegac,,kr)
e o tensor eletromagnético cujas componentes são
F0i=Ei, Fij=-epsilonijkBk,
onde i,j,k=1,2,3 e epsilonijk é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 3

Contratando eta^muFmunu=0 para nu=0 vem
eta^muFmu0=eta^iFi0=k^iEi=kcdotE=0

Passo 4

Para nu=j (com j=1,2,3) obtemos
eta^muFmu j=eta^0F0j+eta^iFij= omegacEj-epsilonjikk^iBk,
ou em forma vetorial
omegacE-ktimesB=0

Passo 5

Tomando o produto vetorial com k, usando
ktimesl(tfracomegacEr)=ktimes(ktimesB)
e a identidade de triplo produto
ktimes(ktimesB)=k(kcdotB)-B,|k|^2, \nalém da relação de dispersão de onda plana |k|=omega/c, seguimos para
k(kcdotB)=0
que implica
kcdotB=0

Resposta

As componentes nu=0 e nu=j da equação covariante eta^muFmunu=0 reproduzem respectivamente kcdotE=0 e, via identidade vetorial, kcdotB=0. Portanto, as condições clássicas de transversidade são equivalentes à forma covariante e, assim, invariantes de Lorentz.

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