Uma partícula de massa m e carga q é acelerada durante um intervalo finito de tempo por um campo elétrico uniforme até atingir uma velocidade não necessariamente pequena com relação à c.
(a) Qual o momento da partícula no instante final da aceleração?
(b) Qual a velocidade da partícula nesse instante?

Passo 1

A questão trata de uma partícula de massa m e carga q que parte do repouso e é submetida a um campo elétrico uniforme vec E durante um intervalo t. O conteúdo é mecânica relativística, e vamos usar a lei dfracdvec pdt=vec F com vec F=qvec E e a definição de momento relativístico vec p=gamma mvec v com gamma=1/raiz1-v^2/c^2.

Passo 2

A força elétrica em módulo e direção fixos dá dvec p/dt=qvec E. Integrando de 0 até t, e assumindo vec p(0)=0, temos
vec p=qvec E,t
portanto esse é o momento relativístico final.

Passo 3

Para achar a velocidade usamos vec p=gamma mvec v. Como gamma=1/raiz1-v^2/c^2, podemos isolar v:
v=pmraiz1+p^2m^2c^2 =c,praizm^2c^2+p^2
Substituindo p=qEt e lembrando que vec v tem a mesma direção de vec E, obtemos o resultado abaixo.

Resposta

(a) vec p=q,vec E,t
(b) vec v=cq,vec E,traizm^2c^2+(qEt)^2

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