No sistema de coordenadas cartesiano o tensor métrico
é dado por uma matriz diagonal com componentes
.
- (a) Calcular as componentes do inverso do tensor métrico
.
- (b) Mostar que o tensor métrico é numericamente invariante baixo uma TL geral.
- © Desafio: considerando que a definição do intervalo
é independente do sistema de coordenadas, calcular as componentes de
no sistema de coordenadas esférico (
.
Passo 1
Vamos ver o que o enunciado pediu e o que vamos usar: estamos no espaço de Minkowski, em coordenadas cartesianas, com o tensor métrico dado por uma matriz diagonal de componentes
. O objetivo é (a) achar o inverso
, (b) mostrar que numericamente ele não muda sob uma transformação de Lorentz geral e © descobrir como ele fica em coordenadas esféricas
. Para isso vamos usar a definição de inverso de matriz, a propriedade de invariância do tensor métrico sob transformações de coordenadas e a regra de transformação de tensores.
Passo 2
Para achar o inverso
a gente usa a condição de que
Como
é diagonal com entradas
, seu inverso é simplesmente a diagonal formada pelos recíprocos dessas entradas. Ou seja:
com componentes cruzadas zero.
Passo 3
Para mostrar que o tensor métrico é numericamente invariante sob uma transformação de Lorentz geral
, usamos a regra de transformação de tensores de segunda ordem:
Por definição de transformação de Lorentz, satisfaz-se
então numericamente
.
Passo 4
Para o desafio: passamos do sistema cartesiano
para o esférico
via
A regra de transformação do tensor métrico é a mesma:
Depois de calcular essas derivadas e montar o intervalo, chega-se a
Dessa forma os componentes não nulos de
em esférico são os da diagonal
.
Resposta
(a)
(b) Sob uma transformação de Lorentz geral satisfaz-se
, logo as componentes permanecem numericamente iguais.
© Em coordenadas esféricas ,
(b) Sob uma transformação de Lorentz geral
© Em coordenadas esféricas