No sistema de coordenadas cartesiano o tensor métrico gmu nu é dado por uma matriz diagonal com componentes (1,-1,-1,-1).
  • (a) Calcular as componentes do inverso do tensor métrico g^mu nu.
  • (b) Mostar que o tensor métrico é numericamente invariante baixo uma TL geral.
  • © Desafio: considerando que a definição do intervalo d s^2= gmu nu d x^mu d x^nu é independente do sistema de coordenadas, calcular as componentes de gmu nu no sistema de coordenadas esférico ( .

Passo 1

Vamos ver o que o enunciado pediu e o que vamos usar: estamos no espaço de Minkowski, em coordenadas cartesianas, com o tensor métrico dado por uma matriz diagonal de componentes gmunu=diag(1,-1,-1,-1). O objetivo é (a) achar o inverso g^munu, (b) mostrar que numericamente ele não muda sob uma transformação de Lorentz geral e © descobrir como ele fica em coordenadas esféricas (t,r,theta,phi). Para isso vamos usar a definição de inverso de matriz, a propriedade de invariância do tensor métrico sob transformações de coordenadas e a regra de transformação de tensores.

Passo 2

Para achar o inverso g^munu a gente usa a condição de que
gmunu,g^nurho=de
Como gmunu é diagonal com entradas 1,-1,-1,-1, seu inverso é simplesmente a diagonal formada pelos recíprocos dessas entradas. Ou seja:
g^munu=diag(1,-1,-1,-1),
com componentes cruzadas zero.

Passo 3

Para mostrar que o tensor métrico é numericamente invariante sob uma transformação de Lorentz geral x'^rho=Lambda^rhomu,x^mu, usamos a regra de transformação de tensores de segunda ordem:
g'rhosigma=partial x^mupartial x'^rho,partial x^nupartial x'^sigma,gmunu =Lambda^murho,Lambda^nusigma,gmunu
Por definição de transformação de Lorentz, satisfaz-se
Lambda^T,g,Lambda=g,
então numericamente g'rhosigma=grhosigma.

Passo 4

Para o desafio: passamos do sistema cartesiano (t,x,y,z) para o esférico (t,r,theta,phi) via
x=rsinthetacosphi, y=rsinthetasinphi, z=rcostheta
A regra de transformação do tensor métrico é a mesma:
g'alphabeta=partial x^mupartial x'^alpha,partial x^nupartial x'^beta,gmunu
Depois de calcular essas derivadas e montar o intervalo, chega-se a
ds^2=dt^2-dr^2-r^2dtheta^2-r^2sin^2theta,dphi^2
Dessa forma os componentes não nulos de galphabeta em esférico são os da diagonal (1,-1,-r^2,-r^2sin^2theta).

Resposta

(a) g^munu=diag(1,-1,-1,-1)
(b) Sob uma transformação de Lorentz geral Lambda satisfaz-se g'=Lambda^TgLambda=g, logo as componentes permanecem numericamente iguais.
© Em coordenadas esféricas (t,r,theta,phi),
galphabeta=diagl(1,-1,-r^2,-r^2sin^2thetar)

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