Considere uma onda eletromagnética se propagando na direção positiva do eixo-x, com amplitude de campo elétrico
e frequência 50 MHz . Determine:
a) (
ponto) A expressão matemática completa que descreve o campo elétrico e o campo magnético.
b) (1,0 ponto) A expressão matemática completa que descreve o vetor de Poynting, a intensidade de onda eletromagnética e a pressão de radiação ao ser completamente absorvida por uma superfície.
c)
ponto
densidade de energia dessa onda.
a) (
b) (1,0 ponto) A expressão matemática completa que descreve o vetor de Poynting, a intensidade de onda eletromagnética e a pressão de radiação ao ser completamente absorvida por uma superfície.
c)
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A questão trata de ondas eletromagnéticas, que são ondas que transportam energia através do espaço. Precisamos usar conceitos de campos elétrico e magnético, vetor de Poynting, intensidade de onda eletromagnética, pressão de radiação e densidade de energia. Vamos utilizar fórmulas das equações de Maxwell e propriedades das ondas eletromagnéticas para resolver as partes a), b) e c) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte a) do exercício: encontrar as expressões matemáticas completas que descrevem o campo elétrico (
) e o campo magnético (
) da onda eletromagnética.
Sabemos que uma onda eletromagnética que se propaga ao longo do eixo x pode ser descrita pelas funções seno ou cosseno para os campos elétrico e magnético. A amplitude do campo elétrico é dada, e a frequência também é conhecida.
A relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética é dada por:
onde
é a velocidade da onda (no vácuo,
), e
é o vetor unitário na direção de propagação.
Vamos expressar
e
em função do tempo e da posição.
Passo 3
Agora, vamos detalhar a formulação das expressões para
e
. Como a onda se propaga na direção positiva do eixo x, os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e à direção de propagação.
A expressão geral para o campo elétrico é:
Onde:
-
é a amplitude do campo elétrico. -
é o número de onda, que relaciona com o comprimento de onda pela fórmula . -
é a frequência angular, relacionada à frequência por . -
indica que o campo elétrico está na direção y.
Para o campo magnético
, a expressão é:
Aqui,
é a amplitude do campo magnético, e
indica que ele está na direção z, perpendicular a
e à direção de propagação.
Passo 4
Vamos agora para a parte b) do exercício: encontrar a expressão do vetor de Poynting, a intensidade da onda eletromagnética e a pressão de radiação.
O vetor de Poynting
representa a direção e a intensidade do fluxo de energia da onda eletromagnética, e é dado por:
onde
é o campo magnético induzido.
A intensidade da onda eletromagnética
é a média temporal do vetor de Poynting:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo.
A pressão de radiação
quando a onda é completamente absorvida por uma superfície é dada por:
Passo 5
Finalmente, para a parte c): calcular a densidade de energia dessa onda. A densidade de energia
em uma onda eletromagnética é a soma das densidades de energia dos campos elétrico e magnético:
Como
, podemos simplificar para:
Resposta
a) As expressões matemáticas completas para o campo elétrico e magnético são:
b) A expressão do vetor de Poynting é:
A intensidade da onda eletromagnética é:
A pressão de radiação é:
c) A densidade de energia da onda é: