Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo, cuja componente elétrica seja descrita por:
onde
é uma constante e
são os versores de base do sistema de coordenadas cartesianas.
Calcule a potência média por unidade de área da onda eletromagnética. Para efeitos de cálculo da potência média considere uma frente de onda localizada em
; ou seja, no plano (
,
). Justifique detalhadamente as suas respostas.
Calcule a potência média por unidade de área da onda eletromagnética. Para efeitos de cálculo da potência média considere uma frente de onda localizada em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda eletromagnética que está se propagando no vácuo. A componente elétrica dessa onda é dada por uma função que envolve cosseno e seno. Nosso objetivo é calcular a potência média por unidade de área dessa onda eletromagnética em um determinado ponto no espaço, especificamente no plano onde $ z = z_0 $.
Para resolver isso, precisamos lembrar de alguns conceitos básicos:
- Vetores de campos elétrico e magnético em ondas eletromagnéticas.
- o Vetor de Poynting, que nos dá a potência por unidade de área transportada pela onda.
- Como calcular a média temporal de funções senoidais.
Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão dada para o campo elétrico:
Aqui, $ E_{0} $ é a amplitude do campo elétrico, $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. A expressão dentro do cosseno e seno representa a fase da onda.
Sabemos que, numa onda eletromagnética no vácuo, o campo magnético $ \vec{B} $ está relacionado ao campo elétrico $ \vec{E} $ pela equação:
onde $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} $ é a velocidade da luz no vácuo, e $ \hat{k} $ é o vetor unitário na direção de propagação da onda.
Passo 3
Vamos encontrar o campo magnético $ \vec{B} $ correspondente. A direção de propagação da onda pode ser identificada pelo argumento das funções cosseno e seno, que depende de $ z $, então a onda está se propagando na direção z, ou seja, $ \hat{k} = \hat{k}_z $.
Aplicando a relação:
Calculando o produto vetorial:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos tanto $ \vec{E} $ quanto $ \vec{B} $, podemos calcular o Vetor de Poynting $ \vec{S} $, que representa a potência por unidade de área transportada pela onda eletromagnética. A fórmula é:
Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo.
Passo 5
Primeiro, escrevemos $ \vec{E} $ e $ \vec{B} $ explicitamente:
onde $ \theta = \omega\left(\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}} z - t\right) $.
Agora, calculamos $ \vec{E} \times \vec{B} $:
Expandindo o produto, lembrando que $ \hat{\imath} \times \hat{\jmath} = \hat{k} $, $ \hat{\jmath} \times \hat{\imath} = -\hat{k} $, e $ \hat{\imath} \times \hat{\imath} = \hat{\jmath} \times \hat{\jmath} = 0 $:
Isso porque $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $.
Passo 6
Agora, substituímos $ \vec{E} \times \vec{B} $ na expressão do Vetor de Poynting:
Sabemos que $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} $, então substituindo:
Simplificando:
onde $ \eta = \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} $ é a impedância do vácuo.
Passo 7
A potência média $ P $ por unidade de área é a média temporal do vetor de Poynting $ \vec{S} $. No entanto, neste caso específico, como $ \vec{S} $ acabou de sair como uma constante em relação ao tempo, a média é ela mesma:
Resposta
A potência média por unidade de área da onda eletromagnética é:
onde $ \eta = \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} $ é a impedância do vácuo.