Considere a possibilidade da propagação de ondas eletromagnéticas no interior de uma cavidade cúbica de aresta de comprimento igual a L, de paredes metálicas perfeitamente refletoras, no interior da qual se fez vácuo.
Resolva a componente elétrica da equação de onda para o problema considerando as seguintes condições de contorno:
Ex(x, 0, z)=Ex(x, L, z)=Ex(x, y, 0)=Ex(x, y, L)=0 Ey(0, y, z)=Ey(L, y, z)=Ey(x, y, 0)=Ey(x, y, L)=0 Ez(0, y, z)=Ez(L, y, z)=Ez(x, 0, z)=Ez(x, L, z)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a componente elétrica da equação de onda para ondas eletromagnéticas dentro de uma cavidade cúbica com aresta de comprimento $ L $. As paredes são metálicas e refletoras, e o interior está a vácuo. Para isso, temos condições de contorno que dizem que as componentes do campo elétrico $ E_x $, $ E_y $ e $ E_z $ são zero nas superfícies da cavidade. Vamos precisar usar conceitos de equações de onda, condições de contorno e modos de ressonância em cavidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de onda para o campo elétrico $ \mathbf{E} $ no vácuo:
E
Aqui, $ \nabla^2 $ é o operador Laplaciano e $ c $ é a velocidade da luz no vácuo. Como estamos lidando com uma cavidade estática (as paredes não se movem) e queremos soluções de onda estacionárias, podemos procurar por soluções que dependem do tempo de forma harmônica, ou seja:
nabla^2 E - 1c^2 partial^2 Epartial t^2 = 0
Substituindo isso na equação de onda, simplificamos para:
nabla^2

Passo 3

Agora, vamos considerar separadamente cada componente do campo elétrico, por exemplo, $ E_x(x, y, z) $. A equação para $ E_x $ fica:
Ex(x, y, z)
Como as condições de contorno são que $ E_x = 0 $ nas faces da cavidade, vamos procurar soluções que sejam produtos de funções em cada coordenada. Suponhamos que:
Ex

Passo 4

Substituindo essa forma na equação de $ E_x $, temos:
Ex
Dividindo toda a equação por $ X Y Z $, obtemos:
Y Y Z d^2 Xdx^2 + X X Z d^2 Ydy^2 + X Y X d^2 Zdz^2 + omega^2c^2 X Y Z = 0
Como cada termo depende apenas de uma coordenada, cada termo deve ser igual a uma constante negativa para que a soma dê zero. Vamos chamar essas constantes de $ -k_x^2 $, $ -k_y^2 $ e $ -k_z^2 $. Assim, temos:
X Y Z
E a relação entre as constantes é:
1X d^2 Xdx^2 + 1Y d^2 Ydy^2 + 1Z d^2 Zdz^2 + omega^2c^2 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver cada equação diferencial. Por exemplo, para $ X(x) $:
X(x)
A solução geral dessa equação é uma combinação de seno e cosseno:
d^2 Xdx^2 + kx^2 X = 0
Mas, como as condições de contorno dizem que $ E_x = 0 $ nas paredes da cavidade, ou seja, em $ x = 0 $ e $ x = L $, temos:
Para $ x = 0 $:
X(x) = A cos(kx x) + B sin(kx x)
Então, $ A = 0 $ e a solução fica:
Ex = 0
Para $ x = L $:
x = 0
Para que isso seja verdade e $ B \neq 0 $ (queremos uma solução não trivial), o argumento do seno deve ser múltiplo de $ \pi $:
x = L
Onde $ n_x $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). O mesmo raciocínio se aplica para $ Y(y) $ e $ Z(z) $:
x = 0

Passo 6

Com os valores de $ k_x $, $ k_y $ e $ k_z $, a relação entre eles nos dá a frequência das ondas permitidas na cavidade:
kx
Resolvendo para $ \omega $:
ky
E a solução geral para $ E_x $ fica:
kz
Onde $ E_{0x} $ é a amplitude da onda.

Resposta

A componente elétrica $ E_x $ das ondas eletromagnéticas na cavidade cúbica é dada por
Ex
onde $ n_x $, $ n_y $ e $ n_z $ são números inteiros positivos que determinam os modos de ressonância, e a frequência $ \omega $ está relacionada por
Ex(x, y, z, t) = E0x sin( nx pi xL ) sin( ny pi yL ) sin( nz pi zL ) e^-iomega t
Essa é a forma das componentes elétricas das ondas que podem se propagar dentro da cavidade cúbica com as condições de contorno especificadas.

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