Este problema apresenta alguns teoremas úteis (enunciados sem prova) envolvendo polinômios de Hermite.
(a) A fórmula de Rodrigues estabelece que
H_{n}(\xi)=(-1)^{n} e^{\xi^{2}}\left(\frac{d}{d \xi}\right)^{n} e^{-\xi^{2}}
Utilize-a para obter H_{3} e H_{4}.
(b) A seguinte relação de recorrência fornece H_{n+1} en termos dos dois polinômios de Hermite precedentes:
H_{n+1}(\xi)=2 \xi H_{n}(\xi)-2 n H_{n-1}(\xi)
Utilize-a, junto com os resultados da parte (a), para obter H_{5} e H_{6}.
(c) Ao derivar um polinômio de n-ésima ordem, obtém-se um polinômio de ordem (n-1). Para os polinômios de Hermite, em especial,
\frac{d H_{n}}{d \xi}=2 n H_{n-1}(\xi)
Verifique esta relação derivando H_{5} e H_{6}.
(d) H_{n}(\xi) é a derivada de ordem n, em z=0, da função geratriz \exp \left(-z^{2}+2 z \xi\right).
Em outras palavras, é o coeficiente do termo z^{n} / n! na expansão em série de Taylor da função
e^{-z^{2}+2 z \xi}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} H_{n}(\xi)
Utilize-a para reobter H_{0}, H_{1} e $H_{2}.

Passo 1

O enunciado envolve quatro propriedades dos polinômios de Hermite:
  1. Fórmula de Rodrigues
  2. Relação de recorrência
  3. Regra de derivação
  4. Função geratriz
Vamos em cada parte:
  • Na parte (a) usar a fórmula de Rodrigues para obter H_{3} e H_{4}.
  • Na parte (b) usar a relação de recorrência para obter H_{5} e H_{6}.
  • Na parte (c) verificar \tfrac{dH_{n}}{d\xi}=2nH_{n-1} para n=5,6.
  • Na parte (d) expandir a função geratriz até termos de ordem z^{2} para resgatar H_{0},H_{1},H_{2}.

Passo 2

Usando a fórmula de Rodrigues
H_{n}(\xi)=(-1)^{n}e^{\xi^{2}}\left(\frac{d}{d\xi}\right)^{n}e^{-\xi^{2}}
para n=3. Primeiro calculamos as derivadas de e^{-\xi^{2}}:
\frac{d}{d\xi}e^{-\xi^{2}}=-2\xi\,e^{-\xi^{2}},
\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}e^{-\xi^{2}}=(-2+4\xi^{2})\,e^{-\xi^{2}},
\frac{d^{3}}{d\xi^{3}}e^{-\xi^{2}}=(12\xi-8\xi^{3})\,e^{-\xi^{2}}.
Então
H_{3}(\xi)=(-1)^{3}e^{\xi^{2}}\,(12\xi-8\xi^{3})\,e^{-\xi^{2}} =8\xi^{3}-12\xi.

Passo 3

Para n=4, continuamos:
\frac{d^{4}}{d\xi^{4}}e^{-\xi^{2}} =\frac{d}{d\xi}\bigl((12\xi-8\xi^{3})e^{-\xi^{2}}\bigr) =(12-48\xi^{2}+16\xi^{4})\,e^{-\xi^{2}}.
Logo,
H_{4}(\xi)=(-1)^{4}e^{\xi^{2}}\,(12-48\xi^{2}+16\xi^{4})\,e^{-\xi^{2}} =16\xi^{4}-48\xi^{2}+12.

Passo 4

Usando a relação de recorrência
H_{n+1}(\xi)=2\xi H_{n}(\xi)-2nH_{n-1}(\xi),
para n=4 obtemos H_{5}:
H_{5}=2\xi H_{4}-2\cdot4\,H_{3} =2\xi(16\xi^{4}-48\xi^{2}+12)-8(8\xi^{3}-12\xi) =32\xi^{5}-160\xi^{3}+120\xi.

Passo 5

Para n=5 vem H_{6}:
H_{6}=2\xi H_{5}-2\cdot5\,H_{4} =2\xi(32\xi^{5}-160\xi^{3}+120\xi)-10(16\xi^{4}-48\xi^{2}+12) =64\xi^{6}-480\xi^{4}+720\xi^{2}-120.

Passo 6

Verificamos \tfrac{dH_{n}}{d\xi}=2nH_{n-1}:
\frac{dH_{5}}{d\xi} =160\xi^{4}-480\xi^{2}+120 =10\,(16\xi^{4}-48\xi^{2}+12) =2\cdot5\,H_{4},
\frac{dH_{6}}{d\xi} =384\xi^{5}-1920\xi^{3}+1440\xi =12\,(32\xi^{5}-160\xi^{3}+120\xi) =2\cdot6\,H_{5}.

Passo 7

Para a função geratriz
e^{-z^{2}+2z\xi} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}H_{n}(\xi),
expandimos até z^{2}. Escrevemos
e^{-z^{2}}=1 - z^{2}+\cdots, \quad e^{2z\xi}=1+2z\xi+\frac{(2z\xi)^{2}}{2!}+\cdots.
Multiplicando e coletando:
  • Coeficiente de z^{0}: 1\Rightarrow H_{0}=1.
  • Coeficiente de z^{1}: 2\xi\Rightarrow H_{1}=2\xi.
  • Coeficiente de z^{2}: \tfrac{H_{2}}{2!}=2\xi^{2}-1\Rightarrow H_{2}=2!(2\xi^{2}-1)=4\xi^{2}-2.

Resposta

H_{0}(\xi)=1
H_{1}(\xi)=2\xi
H_{2}(\xi)=4\xi^{2}-2
H_{3}(\xi)=8\xi^{3}-12\xi
H_{4}(\xi)=16\xi^{4}-48\xi^{2}+12
H_{5}(\xi)=32\xi^{5}-160\xi^{3}+120\xi
H_{6}(\xi)=64\xi^{6}-480\xi^{4}+720\xi^{2}-120

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