Este problema apresenta alguns teoremas úteis (enunciados sem prova) envolvendo polinômios de Hermite.
(a) A fórmula de Rodrigues estabelece que
Utilize-a para obter
e
.
(b) A seguinte relação de recorrência fornece
en termos dos dois polinômios de Hermite precedentes:
Utilize-a, junto com os resultados da parte (a), para obter
e
.
(c) Ao derivar um polinômio de n-ésima ordem, obtém-se um polinômio de ordem
. Para os polinômios de Hermite, em especial,
Verifique esta relação derivando
e
.
(d)
é a derivada de ordem
, em
, da função geratriz
.
Em outras palavras, é o coeficiente do termo
na expansão em série de Taylor da função
Utilize-a para reobter
e $H_{2}.
(a) A fórmula de Rodrigues estabelece que
(b) A seguinte relação de recorrência fornece
(c) Ao derivar um polinômio de n-ésima ordem, obtém-se um polinômio de ordem
(d)
Passo 1
O enunciado envolve quatro propriedades dos polinômios de Hermite:
- Fórmula de Rodrigues
- Relação de recorrência
- Regra de derivação
- Função geratriz
Vamos em cada parte:
- Na parte (a) usar a fórmula de Rodrigues para obter
e . - Na parte (b) usar a relação de recorrência para obter
e . - Na parte (c) verificar
para . - Na parte (d) expandir a função geratriz até termos de ordem
para resgatar .
Passo 2
Usando a fórmula de Rodrigues
para
. Primeiro calculamos as derivadas de
:
Então
Passo 3
Para
, continuamos:
Logo,
Passo 4
Usando a relação de recorrência
para
obtemos
:
Passo 5
Para
vem
:
Passo 6
Verificamos
:
Passo 7
Para a função geratriz
expandimos até
. Escrevemos
Multiplicando e coletando:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .