Considere uma onda harmônica unidimensional que se propaga com uma frequência de f=10 H z, um comprimento de onda lambda=2 m e uma amplitude A=0,5 m. Determine: Determine o deslocamento no ponto x=1 m e no instante t=0.1 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma onda harmônica unidimensional que está se movendo com uma frequência de $ f = 10 , Hz $, comprimento de onda $ \lambda = 2 , m $ e amplitude $ A = 0,5 , m $. A gente precisa descobrir qual é o deslocamento da onda no ponto $ x = 1 , m $ no instante $ t = 0,1 , s $. Para resolver isso, vamos usar a equação da onda harmônica e entender alguns conceitos básicos como frequência, comprimento de onda e amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral da onda harmônica:
y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • $ y(x, t) $ é o deslocamento no ponto $ x $ e no tempo $ t $.
  • $ A $ é a amplitude da onda.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ \phi $ é a fase inicial (se não especificada, podemos considerar $ \phi = 0 $).

Passo 3

Vamos calcular o número de onda $ k $. A fórmula para $ k $ é:
k
Substituindo o valor de $ \lambda = 2 , m $:
k

Passo 4

Agora, vamos encontrar a frequência angular $ \omega $. A relação entre a frequência $ f $ e $ \omega $ é:
omega
Substituindo $ f = 10 , Hz $:
f

Passo 5

Como a fase inicial $ \phi $ não foi dada, vamos assumir que $ \phi = 0 $. Então, a equação da onda fica:
phi

Passo 6

Agora, vamos substituir todos os valores conhecidos na equação:
A = 0,5 , m, k = pi , rad/m, omega = 20pi , rad/s, x = 1 , m, t = 0,1 , s
Então:
y(1, 0,1) = 0,5 cdot sin( pi times 1 - 20pi times 0,1 )

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro do seno:
pi times 1 = pi
20pi times 0,1 = 2pi
Portanto:
y(1, 0,1) = 0,5 cdot sin(pi - 2pi)
pi - 2pi = -pi
Então:
y(1, 0,1) = 0,5 cdot sin(-pi)

Passo 8

Sabemos que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $. Então:
sin(-theta) = -sin(theta)
E $ \sin(\pi) = 0 $, então:
sin(-pi) = -sin(pi)
Logo:
sin(pi) = 0

Resposta

O deslocamento no ponto $ x = 1 , m $ e no instante $ t = 0,1 , s $ é 0 metros.

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