Uma onda eletromagnética no vácuo é descrita pelas equações:
E(x, y, z, t)=(300 V / m) cos (k z-omega t) i B(x, y, z, t)=B0 cos (k z-omega t) j
onde:
  • k=2m rad/m;
  • omega=6 pi times 10^wed>= 8 rad / s. Determine: Determine vetor de Poynting S(z, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda eletromagnética no vácuo descrita pelas equações dos campos elétrico $ E $ e magnético $ B $. Nosso objetivo é encontrar o vetor de Poynting $ S(z, t) $, que representa o fluxo de energia da onda. Para isso, vamos precisar usar a definição do vetor de Poynting e entender como os campos elétrico e magnético se relacionam numa onda eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor de Poynting. Ele é dado por:
S = 1mu0 E times B
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico e $ \mathbf{B} $ é o campo magnético. O “×” representa o produto vetorial entre os dois campos.

Passo 3

Vamos identificar os vetores $ \mathbf{E} $ e $ \mathbf{B} $ do enunciado:
E
Onde:
  • $ k = 2, m^{-1} $
  • $ \omega = 6\pi \times 10^8, rad/s $
  • $ B_0 $ é a amplitude do campo magnético que precisamos encontrar.

Passo 4

Sabemos que, para ondas eletromagnéticas no vácuo, a relação entre $ E $ e $ B $ é:
E
Onde $ c $ é a velocidade da luz no vácuo ($ c \approx 3 \times 10^8 , m/s $). Vamos rearranjar para encontrar $ B_0 $:
B
Substituindo $ E_0 = 300, V/m $:
E0 = c B0

Passo 5

Agora que temos $ B_0 $, podemos calcular o vetor de Poynting. Primeiro, fazemos o produto vetorial $ \mathbf{E} \times \mathbf{B} $:
B0
E times B

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do vetor de Poynting:
S(z, t) = 1mu0 (E times B)
Sabendo que $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}, T·m/A $, substituímos:
mu0 = 4pi times 10^-7, T·m/A
S(z, t) = 3 times 10^-44pi times 10^-7 cos^2(k z - omega t) k

Resposta

O vetor de Poynting é dado por:
S(z, t) approx 238.73 cos^2(2 z - 6pi times 10^8 t) k , W/m^2

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