Considere a onda plana:
psi(x, t)=C exp [ihbar(p x-E t)]=C exp (-i E thbar) phi(x)
e encontre a densidade de corrente de probabilidade.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma onda plana descrita pela função de onda
psi(x, t) = C exp[ihbar(p x - E t)] = C exp(-i E thbar) phi(x)
e nos pede para encontrar a densidade de corrente de probabilidade dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a corrente de probabilidade na mecânica quântica e como calculá-la a partir da função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a densidade de corrente de probabilidade. Na mecânica quântica, ela nos dá uma ideia de como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço ao longo do tempo. A fórmula geral para calcular a corrente de probabilidade $ j $ a partir de uma função de onda $ \psi(x, t) $ é:
j
Onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ i $ é a unidade imaginária,
  • $ \psi^* $ é o conjugado complexo de $ \psi $,
  • $ \frac{\partial \psi}{\partial x} $ é a derivada parcial de $ \psi $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função de onda. Primeiro, identificamos:
psi(x, t) = C exp[ihbar(p x - E t)]
O conjugado complexo de $ \psi $ é:
psi
Assumindo que $ C $ é uma constante real para simplificar (se não for, o procedimento é similar), temos:
psi^*(x, t) = C^* exp[-ihbar(p x - E t)]

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de $ \psi $ em relação a $ x $:
psi
E a derivada de $ \psi^* $ em relação a $ x $:
x

Passo 5

Substituindo esses resultados na fórmula da corrente de probabilidade:
j = hbar2mi ( psi^* cdot i phbar psi - psi cdot (-i phbar) psi^* )
Vamos simplificar cada termo dentro dos parênteses:
  • Primeiro termo: $ \psi^* \cdot \frac{i p}{\hbar} \psi = \frac{i p}{\hbar} |\psi|^2 $
  • Segundo termo: $ \psi \cdot \left(-\frac{i p}{\hbar}\right) \psi^* = -\frac{i p}{\hbar} |\psi|^2 $

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de $ j $:
j
Simplificando:
j = hbar2mi ( i phbar |psi|^2 + i phbar |psi|^2 ) = hbar2mi ( 2i phbar |psi|^2 )

Resposta

A densidade de corrente de probabilidade é
j = pm |psi|^2

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