Considere a onda plana:
e encontre a densidade de corrente de probabilidade.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma onda plana descrita pela função de onda
e nos pede para encontrar a densidade de corrente de probabilidade dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a corrente de probabilidade na mecânica quântica e como calculá-la a partir da função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a densidade de corrente de probabilidade. Na mecânica quântica, ela nos dá uma ideia de como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço ao longo do tempo. A fórmula geral para calcular a corrente de probabilidade $ j $ a partir de uma função de onda $ \psi(x, t) $ é:
Onde:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ i $ é a unidade imaginária,
- $ \psi^* $ é o conjugado complexo de $ \psi $,
- $ \frac{\partial \psi}{\partial x} $ é a derivada parcial de $ \psi $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função de onda. Primeiro, identificamos:
O conjugado complexo de $ \psi $ é:
Assumindo que $ C $ é uma constante real para simplificar (se não for, o procedimento é similar), temos:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de $ \psi $ em relação a $ x $:
E a derivada de $ \psi^* $ em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo esses resultados na fórmula da corrente de probabilidade:
Vamos simplificar cada termo dentro dos parênteses:
- Primeiro termo: $ \psi^* \cdot \frac{i p}{\hbar} \psi = \frac{i p}{\hbar} |\psi|^2 $
- Segundo termo: $ \psi \cdot \left(-\frac{i p}{\hbar}\right) \psi^* = -\frac{i p}{\hbar} |\psi|^2 $
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de $ j $:
Simplificando:
Resposta
A densidade de corrente de probabilidade é