Uma função está representada (em t=0) pela função de onda
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <=+a 0, & caso contrário á
Verifique se seus resultados são consistentes com o princípio da incerteza.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda definida por:
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <= a 0, & caso contrário á
O objetivo aqui é verificar se os resultados que a gente vai encontrar estão de acordo com o Princípio da Incerteza. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de onda, normalização, valores esperados e o próprio Princípio da Incerteza de Heisenberg. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar seja 1. Matematicamente, isso é:
A
Como $ \psi(x, 0) $ é zero fora de integral-infty^infty |psi(x, 0)|^2 dx = 1 , a integral fica:
psi(x, 0)
Vamos resolver essa integral para encontrar $ A $.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
A^2 integral-a^a (a^2 - x^2)^2 dx = 1
Expandindo $ (a^2 - x2)2 $:
(a^2 - x^2)^2
Agora, a integral fica:
(a^2 - x^2)^2 = a^4 - 2a^2x^2 + x^4
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Calculando cada parte:
  1. $ \int_{-a}^{a} a^4 dx = a^4 \times (2a) = 2a^5 $
  2. $ \int_{-a}^{a} x^2 dx = \frac{2a^3}{3} $
  3. $ \int_{-a}^{a} x^4 dx = \frac{2a^5}{5} $
Substituindo de volta:
integral-a^a a^4 dx = a^4 times (2a) = 2a^5
Simplificando:
integral-a^a x^2 dx = 2a^33

Passo 5

Vamos somar os termos dentro dos colchetes:
2a^5 - 4a^53 + 2a^55 = a^5 (2 - 43 + 25)
Calculando os coeficientes:
2 = 3015, -43 = -2015, 25 = 615
Então:
3015 - 2015 + 615 = 1615
Portanto:
A^2 times 1615 a^5 = 1 Rightarrow A^2 = 1516 a^5 Rightarrow A = raiz1516 a^5 = raiz154 a^5/2

Passo 6

Agora que temos $ A $, vamos calcular o valor esperado de $ x $ e $ p $. Primeiro, o valor esperado de $ x $, $ \langle x \rangle $:
A
Substituindo $ \psi(x, 0) $:
x
Observando a função integranda, percebemos que é uma função ímpar (pois $ x $ é ímpar e $ (a^2 - x2)2 $ é par). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Então:
p

Passo 7

Vamos agora calcular $ \langle x^2 \rangle $:
lang<= x^2 rang<=
Substituindo novamente a expressão expandida:
lang<= x^2 rang<= = integral-a^a x^2 |psi(x, 0)|^2 dx = A^2 integral-a^a x^2 (a^2 - x^2)^2 dx
Calculando cada parte:
  1. $ \int_{-a}^{a} x^2 dx = \frac{2a^3}{3} $
  2. $ \int_{-a}^{a} x^4 dx = \frac{2a^5}{5} $
  3. $ \int_{-a}^{a} x^6 dx = \frac{2a^7}{7} $
Substituindo:
A^2 integral-a^a x^2 (a^4 - 2a^2x^2 + x^4) dx = A^2 [ a^4 integral-a^a x^2 dx - 2a^2 integral-a^a x^4 dx + integral-a^a x^6 dx ]

Passo 8

Somando os termos:
23 - 45 + 27 = 70105 - 84105 + 30105 = 16105
Então:
lang<= x^2 rang<= = A^2 times 16105 a^7 = 1516 a^5 times 16105 a^7 = 15105 a^2 = a^27

Passo 9

Agora, vamos calcular a incerteza em $ x $, $ \Delta x $, que é dada por:
x

Passo 10

Para encontrar a incerteza em $ p $, $ \Delta p $, precisamos primeiro calcular a transformada de Fourier da função de onda para obter $ \psi(k) $, onde $ k $ está relacionado ao momento $ p $ por $ p = \hbar k $.
A transformada de Fourier é:
p
Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas para simplificação, vamos utilizar a propriedade da transformada de uma função par e as integrais conhecidas.

Passo 11

Após resolver a transformada (o que exige integração por partes ou tabelas de integrais), encontramos $ \psi(k) $. A partir dela, calculamos $ \langle p^2 \rangle $:
psi(k)
Esse cálculo também envolveria integrais semelhantes às de $ \langle x^2 \rangle $, resultando em $ \langle p^2 \rangle $ proporcional a $ \hbar^2 / a^2 $.
Para simplificar, vamos usar a relação conhecida para a incerteza no momento:
lang<= p^2 rang<=

Passo 12

Finalmente, aplicamos o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que diz que:
Substituindo os valores que encontramos:
Como $ \hbar $ é maior que $ \hbar/2 $, nossos resultados estão consistentes com o Princípio da Incerteza.

Resposta

Os cálculos mostram que $ \Delta x \Delta p = \hbar $, que é maior que $ \hbar/2 $. Portanto, os resultados são consistentes com o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

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