Uma função está representada
pela função de onda
Verifique se seus resultados são consistentes com o princípio da incerteza.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda definida por:
O objetivo aqui é verificar se os resultados que a gente vai encontrar estão de acordo com o Princípio da Incerteza. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de onda, normalização, valores esperados e o próprio Princípio da Incerteza de Heisenberg. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar seja 1. Matematicamente, isso é:
Como $ \psi(x, 0) $ é zero fora de
, a integral fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar $ A $.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Expandindo $ (a^2 - x2)2 $:
Agora, a integral fica:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Calculando cada parte:
- $ \int_{-a}^{a} a^4 dx = a^4 \times (2a) = 2a^5 $
- $ \int_{-a}^{a} x^2 dx = \frac{2a^3}{3} $
- $ \int_{-a}^{a} x^4 dx = \frac{2a^5}{5} $
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Vamos somar os termos dentro dos colchetes:
Calculando os coeficientes:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos $ A $, vamos calcular o valor esperado de $ x $ e $ p $. Primeiro, o valor esperado de $ x $, $ \langle x \rangle $:
Substituindo $ \psi(x, 0) $:
Observando a função integranda, percebemos que é uma função ímpar (pois $ x $ é ímpar e $ (a^2 - x2)2 $ é par). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Então:
Passo 7
Vamos agora calcular $ \langle x^2 \rangle $:
Substituindo novamente a expressão expandida:
Calculando cada parte:
- $ \int_{-a}^{a} x^2 dx = \frac{2a^3}{3} $
- $ \int_{-a}^{a} x^4 dx = \frac{2a^5}{5} $
- $ \int_{-a}^{a} x^6 dx = \frac{2a^7}{7} $
Substituindo:
Passo 8
Somando os termos:
Então:
Passo 9
Agora, vamos calcular a incerteza em $ x $, $ \Delta x $, que é dada por:
Passo 10
Para encontrar a incerteza em $ p $, $ \Delta p $, precisamos primeiro calcular a transformada de Fourier da função de onda para obter $ \psi(k) $, onde $ k $ está relacionado ao momento $ p $ por $ p = \hbar k $.
A transformada de Fourier é:
Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas para simplificação, vamos utilizar a propriedade da transformada de uma função par e as integrais conhecidas.
Passo 11
Após resolver a transformada (o que exige integração por partes ou tabelas de integrais), encontramos $ \psi(k) $. A partir dela, calculamos $ \langle p^2 \rangle $:
Esse cálculo também envolveria integrais semelhantes às de $ \langle x^2 \rangle $, resultando em $ \langle p^2 \rangle $ proporcional a $ \hbar^2 / a^2 $.
Para simplificar, vamos usar a relação conhecida para a incerteza no momento:
Passo 12
Finalmente, aplicamos o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que diz que:
Substituindo os valores que encontramos:
Como $ \hbar $ é maior que $ \hbar/2 $, nossos resultados estão consistentes com o Princípio da Incerteza.
Resposta
Os cálculos mostram que $ \Delta x \Delta p = \hbar $, que é maior que $ \hbar/2 $. Portanto, os resultados são consistentes com o Princípio da Incerteza de Heisenberg.