Uma partícula livre de massa m é o número de onda
está viajando para a direita. No ponto
, o potencial muda bruscamente de 0 para
e permanece com este valor para todos os valores positivo de x. Se a energia inicial da partícula é
:
Calcule o número de onda
na região
como função de
.
Calcule o número de onda
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que está se movendo para a direita com um número de onda $ k_1 $. No ponto $ x = 0 $, o potencial muda de 0 para $ V_0 $ e fica assim para todo $ x > 0 $. A energia inicial da partícula é dada por $ E = \frac{\hbar^{2} k_{1}^{2}}{2 m} = 2 V_{0} $.
O que a gente precisa encontrar é o número de onda $ k_2 $ na região onde $ x > 0 $, ou seja, depois que o potencial mudou. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre partículas em potenciais diferentes e como a energia se relaciona com o número de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação entre a energia da partícula e o número de onda. A energia total $ E $ de uma partícula livre é dada por:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ k $ é o número de onda, e $ m $ é a massa da partícula.
Passo 3
Antes do ponto $ x = 0 $, o potencial é 0. Então, a energia total $ E $ da partícula é toda cinética:
Segundo o enunciado, essa energia também é igual a $ 2 V_{0} $:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre $ k_{1} $ e $ V_{0} $:
Passo 5
Agora, na região $ x > 0 $, o potencial é $ V_{0} $. A energia total ainda é $ E = 2 V_{0} $, mas parte dessa energia é potencial. Então, a energia cinética na região $ x > 0 $ é:
Passo 6
Substituindo $ E = 2 V_{0} $ na equação acima:
Vamos isolar o termo com $ k_{2} $:
Passo 7
Resolvendo para $ k_{2} $:
Passo 8
Lembrando da relação que encontramos no Passo 4:
Vamos substituir $ V_{0} $ na expressão de $ k_{2} $:
Portanto,
Resposta
O número de onda $ k_{2} $ na região $ x > 0 $ em função de $ k_{1} $ é: