Uma partícula livre de massa m é o número de onda k1 está viajando para a direita. No ponto x=0, o potencial muda bruscamente de 0 para v0 e permanece com este valor para todos os valores positivo de x. Se a energia inicial da partícula é E=hbar^2 k1^22 m=2 V0:
Calcule o número de onda k2 na região x>0 como função de k1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com massa $ m $ que está se movendo para a direita com um número de onda $ k_1 $. No ponto $ x = 0 $, o potencial muda de 0 para $ V_0 $ e fica assim para todo $ x > 0 $. A energia inicial da partícula é dada por $ E = \frac{\hbar^{2} k_{1}^{2}}{2 m} = 2 V_{0} $.
O que a gente precisa encontrar é o número de onda $ k_2 $ na região onde $ x > 0 $, ou seja, depois que o potencial mudou. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre partículas em potenciais diferentes e como a energia se relaciona com o número de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a relação entre a energia da partícula e o número de onda. A energia total $ E $ de uma partícula livre é dada por:
E
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ k $ é o número de onda, e $ m $ é a massa da partícula.

Passo 3

Antes do ponto $ x = 0 $, o potencial é 0. Então, a energia total $ E $ da partícula é toda cinética:
x = 0
Segundo o enunciado, essa energia também é igual a $ 2 V_{0} $:
E

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre $ k_{1} $ e $ V_{0} $:
k1

Passo 5

Agora, na região $ x > 0 $, o potencial é $ V_{0} $. A energia total ainda é $ E = 2 V_{0} $, mas parte dessa energia é potencial. Então, a energia cinética na região $ x > 0 $ é:
x > 0

Passo 6

Substituindo $ E = 2 V_{0} $ na equação acima:
E = 2 V0
Vamos isolar o termo com $ k_{2} $:
2 V0 = hbar^2 k2^22 m + V0

Passo 7

Resolvendo para $ k_{2} $:
k2

Passo 8

Lembrando da relação que encontramos no Passo 4:
k1^2 = 4 m V0hbar^2 Rightarrow V0 = hbar^2 k1^24 m
Vamos substituir $ V_{0} $ na expressão de $ k_{2} $:
V0
Portanto,
k2

Resposta

O número de onda $ k_{2} $ na região $ x > 0 $ em função de $ k_{1} $ é:
k2

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