Considere, onde estiverem bem definidas, as funções f(x)=2-cos (x) e g(x)=1-raizx-1.
(a) Determine a expressão e o domínio de g circ f.
(b) Determine todos os valores de x tais que (g circ f)(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para compor as funções
f(x)=2-cos(x)
e
g(x)=1-raizx-1
e depois resolver (gcirc f)(x)=0. O conteúdo envolve composição de funções, análise de domínio com radical e resolução de equação trigonométrica.

Passo 2

Para achar (gcirc f)(x), substituímos f(x) na definição de g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =1-raiz,f(x)-1, =1-raiz,(2-cos(x))-1, =1-raiz1-cos(x)

Passo 3

Agora o domínio de gcirc f é todo x em que f(x) está no domínio de g. Como g exige x-1>=0, precisamos de
f(x)-1>=0 Longrightarrow (2-cos(x))-1>=0 Longrightarrow 1-cos(x)>=0
Mas cos(x)<=1 vale para todo x, logo 1-cos(x)>=0 para todo xinR. Assim o domínio de gcirc f é R.

Passo 4

Para resolver (gcirc f)(x)=0, escrevemos
1-raiz1-cos(x)=0 Longrightarrow raiz1-cos(x)=1

Passo 5

Elevando ao quadrado (e lembrando que a raiz já nos garante 1-cos(x)>=0), obtemos
1-cos(x)=1 Longrightarrow cos(x)=0

Passo 6

As soluções de cos(x)=0 são
x=pi2+kpi, kinZ

Resposta

(a) (gcirc f)(x)=1-raiz1-cos(x), com domínio xinR.
(b) x=pi2+kpi, kinZ.

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