Considere a operação binária
oplus: Z times Z & Z (x, y) & mapsto x+y-5
Determine os elementos inversíveis.

Passo 1

O enunciado define em Z a operação
xoplus y = x + y - 5
e pede para achar os elementos inversíveis (ou seja, aqueles que têm inversa em relação a um elemento neutro). Vamos usar conceitos de monoide: primeiro encontramos o neutro, depois a inversa genérica.

Passo 2

Procuramos o elemento neutro e, que satisfaz
xoplus e = x Longrightarrow x + e - 5 = x Longrightarrow e = 5
Em particular também eoplus x = 5 + x - 5 = x, logo e=5 é mesmo o neutro.

Passo 3

Dado um elemento arbitrário xinZ, sua inversa y deve satisfazer
xoplus y = e = 5 Longrightarrow x + y - 5 = 5 Longrightarrow y = 10 - x
Verificamos também
yoplus x = (10 - x) + x - 5 = 10 - 5 = 5 = e,
ou seja, funciona nos dois lados.

Passo 4

Concluímos que para todo xinZ existe y=10-xinZ tal que xoplus y = yoplus x =5. Logo todos os inteiros são inversíveis.

Resposta

Os elementos inversíveis são todos os xinZ, e a inversa de cada x é
x^-1 ;=; 10 - x

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