Considere a operação binária
Determine os elementos inversíveis.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
e pede para achar os elementos inversíveis (ou seja, aqueles que têm inversa em relação a um elemento neutro). Vamos usar conceitos de monoide: primeiro encontramos o neutro, depois a inversa genérica.
Passo 2
Procuramos o elemento neutro
, que satisfaz
Em particular também
, logo
é mesmo o neutro.
Passo 3
Dado um elemento arbitrário
, sua inversa
deve satisfazer
Verificamos também
ou seja, funciona nos dois lados.
Passo 4
Concluímos que para todo
existe
tal que
. Logo todos os inteiros são inversíveis.
Resposta
Os elementos inversíveis são todos os
, e a inversa de cada
é