Considere a operação binária
oplus: N times N & N (x, y) & mapsto|x-y|
Determine os elementos inversíveis.

Passo 1

O enunciado define a operação binária opluscolonNtimesNtoN por
(x,y)mapsto |x-y|
e pede para achar os elementos inversíveis, ou seja, aqueles ainN para os quais existe binN tal que
aoplus b = e
onde e é o elemento neutro de (N,oplus).

Passo 2

Encontrar o elemento neutro e. Precisamos de einN satisfazendo
xoplus e = |x-e| = x
para todo xinN. As soluções de lvert x-ervert = x são e=0 ou e=2x, mas como e deve ser fixo para todo x, a única possibilidade é
e = 0

Passo 3

Determinar os inversos. Dado ainN, procuramos binN tal que
aoplus b = |a-b| = 0
A equação lvert a-brvert = 0 implica b = a. Logo, todo a tem inverso b=a.

Resposta

Todos os elementos de N são inversíveis, e o inverso de cada x é ele próprio: x^-1=x.

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