Considere a operação binária
oplus: Z times Z & Z (x, y) & mapsto x+y-5
Mostre que esta operação é comutativa e associativa.

Passo 1

O enunciado define a operação binária oplus:ZtimesZtoZ por
(x,y)mapsto x+y-5
Para mostrar que oplus é comutativa e associativa, vamos usar as propriedades já conhecidas da soma em Z.

Passo 2

Para cada x,yinZ, pela comutatividade da soma em Z temos
xoplus y = x + y - 5 = y + x - 5 = y oplus x
Logo, oplus é comutativa.

Passo 3

Para cada x,y,zinZ, usando a associatividade da soma em Z calculamos
(xoplus y)oplus z = (x + y - 5) + z - 5 = x + y + z - 10
e
xoplus(yoplus z) = x + (y + z - 5) - 5 = x + y + z - 10
Como os dois resultados coincidem, oplus é associativa.

Resposta

A operação oplus é comutativa e associativa.

Exercícios relacionados