Considere a operação binária
Mostre que esta operação tem elemento neutro.
Passo 1
O enunciado define a operação binária
por
O que o exercício pede é encontrar um elemento neutro
tal que, para todo
,
Para isso vamos usar a definição de elemento neutro e resolver uma equação envolvendo valor absoluto.
Passo 2
Pela definição de elemento neutro, precisamos de
que satisfaça, para todo
,
Como
, basta resolver
Passo 3
A equação
gera dois casos:
-
, o que implica . -
, o que implica .
No segundo caso,
dependeria de
, mas o elemento neutro deve ser fixo para todo
. Logo esse caso não vale. A única opção válida é
.
Passo 4
Verificamos que
funciona: para todo
,
Portanto
é de fato o elemento neutro de
.
Resposta
O elemento neutro da operação
em
é
.