Considere a operação binária
oplus: N times N & N (x, y) & mapsto|x-y|
Mostre que esta operação tem elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define a operação binária opluscolon NtimesNtoN por
(x,y)mapsto |x-y|
O que o exercício pede é encontrar um elemento neutro einN tal que, para todo xinN,
xoplus e = x e eoplus x = x
Para isso vamos usar a definição de elemento neutro e resolver uma equação envolvendo valor absoluto.

Passo 2

Pela definição de elemento neutro, precisamos de e que satisfaça, para todo x,
|x-e| = x e |e-x| = x
Como |x-e|=|e-x|, basta resolver
|x-e| = x

Passo 3

A equação |x-e|=x gera dois casos:
  1. x-e = x, o que implica e=0.
  2. e-x = x, o que implica e=2x.
No segundo caso, e dependeria de x, mas o elemento neutro deve ser fixo para todo x. Logo esse caso não vale. A única opção válida é e=0.

Passo 4

Verificamos que e=0 funciona: para todo xinN,
xoplus 0 = |x-0| = x e 0oplus x = |0-x| = x
Portanto 0 é de fato o elemento neutro de oplus.

Resposta

O elemento neutro da operação (x,y)mapsto|x-y| em N é 0.

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