Considere a operação binária
*: R^2 times R^2 & R^2 (x, y) & mapsto(x1 y1+2 x2 y2, x1 y2+x2 y1)
Use esta notação matricial para provar que esta operação é comutativa e associativa.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a operação
(x1,x2)*(y1,y2)=l(x1y1+2x2y2,;x1y2+x2y1r)
Para provar que é comutativa e associativa, vamos introduzir para cada vetor x=(x1,x2) a matriz
A(x)= x1 & 2x2 x2 & x1 ,
de modo que multiplicar vetores por essa matriz reproduza exatamente a operação *.

Passo 2

Primeiro, mostramos que
De fato, escrevendo como vetor coluna, temos
que coincide com a definição de .

Passo 3

Para ver a comutatividade, basta notar que
x*y ;=;A(x),y e y*x ;=;A(y),x
Mas o cálculo acima permanece o mesmo se trocarmos x e y, logo
A(x),y = x1y1+2x2y2 x2y1+x1y2 = A(y),x ;Longrightarrow; x*y = y*x

Passo 4

Para a associatividade, mostramos que
A(x*y)=A(x),A(y)
Calculando o produto de matrizes,
A(x),A(y) = x1 & 2x2 x2 & x1 y1 & 2y2 y2 & y1 = x1y1+2x2y2 & 2,(x1y2+x2y1) x2y1+x1y2 & x1y1+2x2y2
Mas isso é exatamente
(x*y)1 & 2,(x*y)2 (x*y)2 & (x*y)1 =A(x*y)
Então, para qualquer zinR^2,
(x*y)*z = A(x*y),z = A(x),A(y),z = A(x),(y*z) = x*(y*z),
mostrando a associatividade.

Resposta

A operação * é comutativa e associativa.

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