Considere a operação binária
Use esta notação matricial para provar que esta operação é comutativa e associativa.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
Para provar que é comutativa e associativa, vamos introduzir para cada vetor
a matriz
de modo que multiplicar vetores por essa matriz reproduza exatamente a operação
.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
De fato, escrevendo
como vetor coluna, temos
que coincide com a definição de
.
Passo 3
Para ver a comutatividade, basta notar que
Mas o cálculo acima permanece o mesmo se trocarmos
e
, logo
Passo 4
Para a associatividade, mostramos que
Calculando o produto de matrizes,
Mas isso é exatamente
Então, para qualquer
,
mostrando a associatividade.
Resposta
A operação
é comutativa e associativa.