Considere a operação binária
*: R^2 times R^2 & R^2 (x, y) & mapsto(x1 y1, x1 y2+x2)
Use esta notação matricial para provar que esta operação é associativa mas não é comutativa.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a operação
(x1,x2)*(y1,y2)=l(x1y1,;x1y2+x2r)
Queremos mostrar que * é associativa mas não é comutativa. Para isso, vamos usar a ideia de representar cada par (x1,x2) por uma matriz 2times2 que codifica exatamente essa regra de combinação.

Passo 2

Defina para cada x=(x1,x2)inR^2 a matriz
Ax= x1 & x2 0 & 1
Vamos verificar que a multiplicação usual de matrizes AxAy reproduz a operação *.

Passo 3

Calculemos o produto de Ax por Ay. Se
Ax=x1 & x20&1, Ay=y1 & y20&1,
então
AxAy = x1 & x2 0 & 1 y1 & y2 0 & 1 = x1y1 & x1y2 + x2 0 & 1
Mas o par correspondente a essa matriz-resultado é exatamente
l(x1y1,;x1y2+x2r) =(x1,x2)*(y1,y2)
Logo
AxAy = A,x*y

Passo 4

Como a multiplicação de matrizes 2times2 é associativa, para quaisquer x,y,zinR^2 temos
A(x*y)*z = Ax*y,Az = (AxAy)Az = Ax,(AyAz) = Ax,Ay*z = A,x*(y*z)
Pela injetividade da associação xmapsto Ax, conclui-se
(x*y)*z ;=; x*(y*z),
isto é, * é associativa.

Passo 5

Para ver que * não é comutativa, basta dar um contra-exemplo. Tome
x=(2,1), y=(3,4)
Então
x*y = (2cdot3,;2cdot4+1) = (6,9), y*x = (3cdot2,;3cdot1+4) = (6,7)
Como (6,9)neq(6,7), segue que x*yneq y*x, ou seja, * não é comutativa.

Resposta

* é associativa e não é comutativa.

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