Dadas as matrizes em M2(Z6), a=(ll1 & 2 2 & 3), b=(ll3 & 0 2 & 5) e c=(ll1 & 3 1 & 4), calcule os seguintes produtos.
b^2 c^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto b^2c^2 no anel das matrizes 2times2 sobre Z6. Vamos usar a definição de multiplicação de matrizes
(XY)ij=sumk=1^2 XikYkj
e reduzir todas as operações módulo 6.

Passo 2

Calculamos primeiro
b = 3 & 0 2 & 5
e
b^2 = b cdot b
Os coeficientes são
(b^2)11 = 3 cdot 3 + 0 cdot 2 = 9 equiv 3 pmod6, (b^2)12 = 3 cdot 0 + 0 cdot 5 = 0,
(b^2)21 = 2 cdot 3 + 5 cdot 2 = 6 + 10 = 16 equiv 4 pmod6, (b^2)22 = 2 cdot 0 + 5 cdot 5 = 25 equiv 1 pmod6
Logo,
b^2 = 3 & 0 4 & 1

Passo 3

Agora calculamos
c = 1 & 3 1 & 4
e
c^2 = c cdot c
Os coeficientes são
(c^2)11 = 1 cdot 1 + 3 cdot 1 = 4, (c^2)12 = 1 cdot 3 + 3 cdot 4 = 3 + 12 = 15 equiv 3 pmod6,
(c^2)21 = 1 cdot 1 + 4 cdot 1 = 5, (c^2)22 = 1 cdot 3 + 4 cdot 4 = 3 + 16 = 19 equiv 1 pmod6
Logo,
c^2 = 4 & 3 5 & 1

Passo 4

Finalmente, multiplicamos
b^2 c^2 = 3 & 0 4 & 1 4 & 3 5 & 1
Os coeficientes são
(b^2 c^2)11 = 3 cdot 4 + 0 cdot 5 = 12 equiv 0 pmod6, (b^2 c^2)12 = 3 cdot 3 + 0 cdot 1 = 9 equiv 3 pmod6,
(b^2 c^2)21 = 4 cdot 4 + 1 cdot 5 = 16 + 5 = 21 equiv 3 pmod6, (b^2 c^2)22 = 4 cdot 3 + 1 cdot 1 = 12 + 1 = 13 equiv 1 pmod6

Resposta

b^2 c^2 = 0 & 3 3 & 1

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