Considere a operação binária
Use esta notação matricial para provar que esta operação é comutativa e associativa.
Passo 1
O enunciado define em
a operação
O truque é notar que isto é justo o produto de números complexos
e
. Em vez de trabalhar com
, vamos usar a representação matricial
Mostraremos que
e então herdamos comutatividade e associatividade da multiplicação matricial (que, neste subanel, é também comutativa).]
Passo 2
Vamos calcular diretamente
. Escrevendo
temos
Mas este mesmo resultado é exatamente
Logo
Passo 3
Para ver que
é comutativa, note que as matrizes
e
comutam:
por simples permutação de escalares em
.
Daí
Daí
Como
é injetiva (se duas matrizes
então
pelo primeiro elemento da diagonal), concluímos
ou seja,
é comutativa.
Passo 4
Para associatividade, usamos associatividade de multiplicação de matrizes:
Novamente pela injetividade de
, segue
logo
é associativa.
Resposta
A operação
em
é comutativa e associativa.