Considere a operação binária
*: R^2 times R^2 & R^2 (x, y) & mapsto(x1 y1-x2 y2, x1 y2+x2 y1)
Use esta notação matricial para provar que esta operação é comutativa e associativa.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a operação
(x1,x2)*(y1,y2) = l(x1y1 - x2y2,;x1y2 + x2y1r)
O truque é notar que isto é justo o produto de números complexos
,x1 + i x2 e y1 + i y2. Em vez de trabalhar com i, vamos usar a representação matricial
phil(x1,x2r) = x1 & -x2[0.3em] x2 & x1
Mostraremos que
phi(x)*phi(y)=phil(x*yr),
e então herdamos comutatividade e associatividade da multiplicação matricial (que, neste subanel, é também comutativa).]

Passo 2

Vamos calcular diretamente phi(x),phi(y). Escrevendo
phi(x)=x1&-x2[0.3em]x2&x1, phi(y)=y1&-y2[0.3em]y2&y1,
temos
phi(x),phi(y) = x1y1 - x2y2 & -(x1y2 + x2y1)[0.3em] x2y1 + x1y2 & x1y1 - x2y2
Mas este mesmo resultado é exatamente
phil((x1,x2)*(y1,y2)r) =phil(x1y1 - x2y2,;x1y2 + x2y1r)
Logo
phi(x),phi(y)=phi(x*y) ]

Passo 3

Para ver que * é comutativa, note que as matrizes phi(x) e phi(y) comutam:
phi(x),phi(y)=phi(y),phi(x) por simples permutação de escalares em R.
Daí
phi(x*y)=phi(x),phi(y)=phi(y),phi(x)=phi(y*x)
Como phi é injetiva (se duas matrizes phi(u)=phi(v) então u=v pelo primeiro elemento da diagonal), concluímos
x*y = y*x,
ou seja, * é comutativa.

Passo 4

Para associatividade, usamos associatividade de multiplicação de matrizes:
phil(x*(y*z)r) =phi(x),phi(y*z) =phi(x)l(phi(y),phi(z)r) =l(phi(x),phi(y)r)phi(z) =phi(x*y),phi(z) =phil((x*y)*zr)
Novamente pela injetividade de phi, segue
x*(y*z) = (x*y)*z,
logo * é associativa.

Resposta

A operação * em R^2 é comutativa e associativa.

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