Seja *: A times A A uma operação associativa. Suponha que e, f in A são tais que para qualquer x in A valem as igualdades x * e=x e f * x=x.
Dado a in A, se a * x=e e y * a=e então x=y.

Passo 1

O enunciado define um conjunto A com uma operação associativa * e diz que existem e,fin A tais que, para todo xin A,
x*e = x e f*x = x
Em outras palavras, e é identidade à direita e f é identidade à esquerda. Queremos mostrar que, dado ain A, se
a*x = e e y*a = e,
então necessariamente x=y. Para isso usaremos apenas associatividade e as propriedades de identidade.

Passo 2

Mostramos primeiro que f=e.
Como e é identidade à direita, para x=f vale
f*e = f
Como f é identidade à esquerda, para x=e vale
f*e = e
Daí concluímos
f = f*e = e

Passo 3

Agora que f=e, da igualdade f*x = x segue também
e*x = x para todo xin A,
ou seja, e é identidade bilateral (tanto à direita quanto à esquerda).

Passo 4

Usamos a identidade bilateral e a associatividade para comparar x e y:
y = y*e = y*(a*x) oversetasso= (y*a)*x = e*x = x
Portanto y = x.

Resposta

x = y.

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