Seja
uma operação associativa. Suponha que
são tais que para qualquer
valem as igualdades
e
.
Dado
, se
e
então
.
Dado
Passo 1
O enunciado define um conjunto
com uma operação associativa
e diz que existem
tais que, para todo
,
Em outras palavras,
é identidade à direita e
é identidade à esquerda. Queremos mostrar que, dado
, se
então necessariamente
. Para isso usaremos apenas associatividade e as propriedades de identidade.
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Como é identidade à direita, para
vale
Como
Como
é identidade à esquerda, para
vale
Daí concluímos
Passo 3
Agora que
, da igualdade
segue também
ou seja,
é identidade bilateral (tanto à direita quanto à esquerda).
Passo 4
Usamos a identidade bilateral e a associatividade para comparar
e
:
Portanto
.