Dadas as matrizes em M2(Z6), a=(ll1 & 2 2 & 3), b=(ll3 & 0 2 & 5) e c=(ll1 & 3 1 & 4), calcule os seguintes produtos.
(b c)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular (b,c)^2 em M2(Z6), ou seja, primeiro multiplicar as matrizes
b = 3 & 02 & 5 e c = 1 & 31 & 4
fazendo todas as somas e produtos em módulo 6, e depois elevar o resultado ao quadrado por multiplicação de matrizes novamente em Z6.

Passo 2

Calculemos b,c. Em cada entrada fazemos produto de linha de b por coluna de c, sempre reduzindo mod 6.
b,c = 3cdot1 + 0cdot1 & 3cdot3 + 0cdot4[6pt] 2cdot1 + 5cdot1 & 2cdot3 + 5cdot4 equiv 3 + 0 & 9 + 0[3pt] 2 + 5 & 6 + 20 equiv 3 & 9[3pt] 7 & 26 equiv 3 & 3[3pt] 1 & 2 pmod6 ]

Passo 3

Agora elevamos essa matriz ao quadrado:
X = b,c = 3 & 31 & 2,
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X^2 = X cdot X = 3cdot3 + 3cdot1 & 3cdot3 + 3cdot2[4pt] 1cdot3 + 2cdot1 & 1cdot3 + 2cdot2 equiv 9 + 3 & 9 + 6[3pt] 3 + 2 & 3 + 4 equiv 12 & 15[3pt] 5 & 7 equiv 0 & 3[3pt] 5 & 1 pmod6 ]

Resposta

(bc)^2 = 0 & 3 5 & 1

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